第一章 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.docx

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假关系表pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等?存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等?3.全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立?x∈M，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立?x0∈M，p(x0)4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，綈p(x)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(　×　)(2)已知命题p：?n0∈N,1000，则綈p：?n∈N,≤1000.(　×　)(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(　√　)(4)命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x20”．(　×　)(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(　√　)(6)命题“?x0∈R,≤0”是假命题．(　√　)1．命题p：?x∈R，sinx1；命题q：?x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是(　　)A．p∧qB．綈p∧qC．p∨綈qD．綈p∧綈q答案　B解析　∵p是假命题，q是真命题，∴綈p∧q是真命题．2．(2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)A．对任意x∈R，都有x20B．不存在x∈R，使得x20C．存在x0∈R，使得x≥0D．存在x0∈R，使得x0答案　D解析　因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x0∈M，綈p(x0)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x0”．3．(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是(　　)A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q答案　D解析　因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x0恒成立，故p为真命题；因为当x1时，x2不一定成立，反之当x2时，一定有x1成立，故“x1”是“x2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故选D.4．若命题“?x∈R，x2－mx－m0”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案　[－4,0]解析　“?x∈R，x2－mx－m0”是假命题，则“?x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.题型一　含有逻辑联结词命题的真假判断例1　(1)命题p：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到函数y＝sin的图象；命题q：函数y＝sincos的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”中真命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．0(2)已知命题p：若a1，则axlogax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下面选项中真命题是(　　)A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q)C．p∨(綈q) D．p∧q答案　(1)B　(2)B解析　(1)函数y＝sin2x的图象向右平移个单位后，所得函数为y＝sin＝sin，∴命题p是假命题．又y＝sincos＝sincos＝sin2＝－cos，∴其最小正周期为T＝＝π，∴命题q真．由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”为真．所以真命题的个数是2.(2)当a＝1.1，x＝2时，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12log1.11.21＝2，此时，axlogax，故p为假命题．命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．　(1)(2014·湖南)已知命题p：若xy，则－x－y；命题q：若xy，则x2y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)A．①③B．①④C．②③D．②④(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．答案　(1)C　(2)必要不