第一章 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.docx

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第一章 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假关系表pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等?存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等?3.全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立?x∈M,p(x)特称命题存在M中的一个x0,使p(x0)成立?x0∈M,p(x0)4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定?x∈M,p(x)?x0∈M,綈p(x0)?x0∈M,p(x0)?x∈M,綈p(x)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × )(2)已知命题p:?n0∈N,1000,则綈p:?n∈N,≤1000.( × )(3)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )(4)命题“?x∈R,x2≥0”的否定是“?x∈R,x20”.( × )(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”.( √ )(6)命题“?x0∈R,≤0”是假命题.( √ )1.命题p:?x∈R,sinx1;命题q:?x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是(  )A.p∧qB.綈p∧qC.p∨綈qD.綈p∧綈q答案 B解析 ∵p是假命题,q是真命题,∴綈p∧q是真命题.2.(2013·重庆)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(  )A.对任意x∈R,都有x20B.不存在x∈R,使得x20C.存在x0∈R,使得x≥0D.存在x0∈R,使得x0答案 D解析 因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x0∈M,綈p(x0)”,故“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,使得x0”.3.(2014·重庆)已知命题p:对任意x∈R,总有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是(  )A.p∧qB.綈p∧綈qC.綈p∧qD.p∧綈q答案 D解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x0恒成立,故p为真命题;因为当x1时,x2不一定成立,反之当x2时,一定有x1成立,故“x1”是“x2”的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、綈p为假命题,綈q为真命题,綈p∧綈q、綈p∧q为假命题,p∧綈q为真命题,故选D.4.若命题“?x∈R,x2-mx-m0”是假命题,则实数m的取值范围是________.答案 [-4,0]解析 “?x∈R,x2-mx-m0”是假命题,则“?x∈R,x2-mx-m≥0”是真命题.即Δ=m2+4m≤0,∴-4≤m≤0.题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断例1 (1)命题p:将函数y=sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin的图象;命题q:函数y=sincos的最小正周期为π,则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”中真命题的个数是(  )A.1B.2C.3D.0(2)已知命题p:若a1,则axlogax恒成立;命题q:在等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*).则下面选项中真命题是(  )A.(綈p)∧(綈q) B.(綈p)∨(綈q)C.p∨(綈q) D.p∧q答案 (1)B (2)B解析 (1)函数y=sin2x的图象向右平移个单位后,所得函数为y=sin=sin,∴命题p是假命题.又y=sincos=sincos=sin2=-cos,∴其最小正周期为T==π,∴命题q真.由此,可判断命题“p∨q”真,“p∧q”假,“綈p”为真.所以真命题的个数是2.(2)当a=1.1,x=2时,ax=1.12=1.21,logax=log1.12log1.11.21=2,此时,axlogax,故p为假命题.命题q,由等差数列的性质,当m+n=p+q时,an+am=ap+aq成立,当公差d=0时,由am+an=ap+aq不能推出m+n=p+q成立,故q是真命题.故綈p是真命题,綈q是假命题,所以p∧q为假命题,p∨(綈q)为假命题,(綈p)∧(綈q)为假命题,(綈p)∨(綈q)为真命题.思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤:(1)确定命题的构成形式;(2)判断其中命题p、q的真假;(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假. (1)(2014·湖南)已知命题p:若xy,则-x-y;命题q:若xy,则x2y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是(  )A.①③B.①④C.②③D.②④(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件.答案 (1)C (2)必要不

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