第一章 复数与复变函数——工程数学.ppt

* * 3．单连通区域与多连通区域 设D为一平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D， 则称D为单连通区域，否则是多连通区域． 单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续 变形而缩成一点． 单连通区域 多连通区域 洞 * * 第四节 无穷大与复球面 一、无穷远点 为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数 -------无穷大， 它是由下式定义的： 加法： 减法： 乘法： 除法： 而实部、虚部和辐角均没有意义， * * 这个点称为无穷远点， 复平面加上无穷远点称为扩充复平面， 扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点. （3）无穷远点的邻域： 复球面定义：球面上的每一点都有唯一的复数与之对应，这样的球面称为复球面； 二、复球面 * * 第五节 复变函数 一、复变函数的概念 按照这一法则， 1．定义： 设 设是一个复数的集合， 如果有一个确定的法则存在， 对于集合众的每一个复数 都有一个或几个复数 与之对应， 那么称 是 的复变函数， 记作： * * 例1． 解： 2．复变函数与二元函数的关系 * * 3．映射的概念 在《高等数学》中，常把函数用几何图形来表示，对于复变函数， 由于它反映了两对变量之间的对应关系，因而无法用同一个平面的 几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上点集之间对应关系。 * * 例3． * * 例4． 解： * * 二、复变函数的极限和连续 1．复变函数的极限 定义1． * * 定理1．设函数 证明： 说明： 这个定理是将复变函数 的极限问题转化为求两个二元函数 的极限问题. * * 定理2．如果 例1． 证明： * * 2．复变函数的连续性 定理3．函数 例2． 解： 说明： 复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与 连续性的定义形式上完全相同，因此高等数学中的 有关定理依然成立，因此又有有界闭区域上连续函 数的性质． * * 定理4．(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数； (2)连续函数的复合函数是连续函数． * * * * 目 录 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第九章 拉普拉斯变换 第一章 复数与复变函数 复变函数  与积分变换 * * 第一章 复数与复变函数 复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广． * * 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 1.2 复数的三角表示 1.3 平面点集的一般概念 1.4 无穷大与复球面 1.5 复变函数 * * 第一节 复数 一、复数的基本概念 * * 二、复数的代数运算 1. 复数的和、差、积、商、模 和与差： 积： 商： 复数的运算满足交换律、结合律、分配律． 模： * * 2．共扼复数及性质 重要性质： 复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用 * * 例1．计算复数 解： 法一（商的公式） 法二（共轭性质） 应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算 中要灵活运用共轭 * * 例2． 解： 由题意得 例3． 解： * * 例4． 证明： 证法二： * * 第二节 复数的三角表示 一、复平面 定义： 复数的模： 复数的幅角： 主幅角： 即：一复数的辐角Argz是多值的 * * 二、复数的表示法 1．复数的向量表示法 因此 显然有不等式： 复数、复平面上点、向量之间一一对应 * * 2．复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系： 复数的三角表示式： 3．复数的指数表示法 利用欧拉公式： 复数的指数表示式： 注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无 穷多种选择，如果有两个三角表示式相等： 则可以推出： * 例1． 解： 于是 主幅角值的确定： 练习 主辐角 解： 模 * 例2． 解： 为复数形式的直线方程 定义：复数形式的一般方程为 若平面上曲线的一般方程为： 则定义 为复数形式的一般方程。 * * 例3． 解： 参数方程为 由参数式得复数形式参数方程为 若平面上曲线的参数方程为： 则定义 定义：复数形式的参数方程 * * 例5． 参数方程为 解： 例4． 解： 直线的参数方程 * *