第一部分 多项式矩阵理论.ppt

电气与信息工程学院 自动化系 * 电气与信息工程学院 控制科学与工程系 主要参考书： 1）《线性系统理论》郑大钟 清华大学出版社 2）《线性控制系统》陈际达 中南大学出版社 3）《线性系统》T. Kailath 科学出版社 主讲：刘国才教授、博士生导师 lgc630819@，lgc630819@ 线性系统理论教案 内容提要 1、多项式矩阵 2、初等变换和初等矩阵 3、单模阵 4、既约性 5、互质性 第一部分：多项式矩阵理论 多项式矩阵 定义：以多项式为元构成的矩阵称为多项式矩阵。 引例： 第一部分：多项式矩阵理论 其中X=Ax+Bu，Y=Cx 多项式矩阵性质 多项式矩阵的奇异和非奇异性的定义和实数矩阵相同。 需注意的是，多项式矩阵的秩，多项式向量的线性无关性必需在有理分式域中定义。 例： 显然其行列式DetQ(s)=0，但在实数域内其列向量不相关。 ※ 矩阵秩的一个重要性质： 第一部分：多项式矩阵理论 初等变换和初等矩阵 矩阵A的行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵E 矩阵A的列初等变换相当于右乘相应的初等矩阵E 第一部分：多项式矩阵理论 单模阵 单模矩阵定义： 称方阵Q(s)为单模阵，当且仅当其行列式detQ(s)=c 为独立于s的非零常数。 例1：非奇异的常数矩阵 例2： 通过计算，可以得到： 据定义可知，Q(s)为单模阵。 第一部分：多项式矩阵理论 单模阵特性 单模阵的特性 单模阵M(s)可逆且其可逆矩阵还是单模阵 单模阵的乘积仍为单模阵 单模阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积，反之亦然。因此，一系列初等变换等价于一个单模变换。 多项式矩阵的奇异性、非奇异性和单模性存在如下对应关系： 第一部分：多项式矩阵理论 多项式向量的次数 对列或行多项式向量: 其次数定义为其元多项式次数的最大值，即 既约性 1 第一部分：多项式矩阵理论 列既约性的定义： 给定方非奇异多项式矩阵M(s) dci M(s)为其相应的列次数，i=1，2，…p。 称M(s)为列既约的，当且仅当： 其行列式的次数等于其所有列次数的和，即 既约性 2 第一部分：多项式矩阵理论 列次表达式：对于多项式矩阵M(s)， 其列次数记为： 既约性 3 则可将M(s)表达为其列次表达式： 第一部分：多项式矩阵理论 多项式矩阵的既约化 通过一系列的列或行的初等变换（单模变换），可将非既约的多项式矩阵化为一列或行既约矩阵。 特性：列或行既约矩阵的列或行次数之和在单模变换下是不变的。 第一部分：多项式矩阵理论 既约性 4 多项式矩阵列既约判据 充要条件：高次系数矩阵Mhc非奇异 引言 MIMOs多变量线性系统传递函数矩阵可表达为 如下“分式”形式： 其中N(s)和D(s)的最大公因子为单模阵，即N和D互质。 互质性可分为右互质性和左互质性。 右互质多项式矩阵D(s)和N(s)列数相同。 左互质多项式矩阵DL(s)和NL(s)行数相同。 第一部分：多项式矩阵理论 互质性 1 互质性是对两个多项式矩阵间的不可简约属性的表征。 公因子和最大公因子 右公因子：称多项式矩阵R(s)为列数相同的两个多项式矩阵D(S)和N(s)的一个右公因子，如果存在多项式矩阵： 左公因子有类似定义。 左公因子和线性系统能观性有关， 右公因子和线性系统能控性有关。 第一部分：多项式矩阵理论 互质性 2 第一部分：多项式矩阵理论 互质性 3 最大公因子gcrd的构造定理 对列数相同的两个多项式矩阵D(s)和N(s), 如果可以找到 一单模阵U(s), 使得： 则导出的多项式矩阵R(s)为D(s)和N(s)的一个最大右公因子。且满足如下贝左特等式： R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s) 第一部分：多项式矩阵理论 互质性 4 第一部分：多项式矩阵理论 互质性 5 右互质定义 如果列数相同的两个多项式矩阵D(s)和N(s)的最大右公因子R(s)为一个单模阵，则称D(s)和N(s)右互质。 右互质的秩判据： 右互质贝左特等式： 存在多项式矩阵X(s)和Y(s), 使得： X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I(单位阵），反之亦然。 互质性 6 第一部分：多项式矩阵理论 电气与信息工程学院