第三章 力学量用算符表达6.ppt

量子力学导论Introduction to Quantum mechanics 成都理工大学 2014年9月—11月 课程内容 第一章 波函数和薛定谔方程 第二章 一维势场中的粒子 第三章 力学量用算符表达 第四章 力学量随时间的演化 第五章 中心力场 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 第九章 力学量本征值问题的代数解法 第十章 微扰论 第三章 力学量用算符表达 3.1、算符的运算规则 3.2、力学量算符 3.3、力学量算符的对易关系式 3.4、力学量算符的共同本征态 3.5、不确定关系 3.2、力学量算符 1、力学量算符的具体形式 2、力学量算符是线性算符 3、力学量算符是厄米算符 4、力学量算符与状态波函数 1、力学量算符的具体形式 a、力学量平均值 在统计物理中知道： 当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标的平均值。 a、力学量平均值 坐标平均值： 设ψ(x，t) 是归一化波函数，|ψ (x,t)|2 是粒子出现在x点的几率密度 对三维情况 a、力学量平均值 定义动量的平均值： b、基本力学量算符 力学量（位置与动量）用算符表示： 简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。 由归一化波函数ψ(r,t)求 力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在ψ*(r,t)和ψ(r,t)之间,对全空间积分，即 F 是任一 力学量算符 c、其它力学量算符 动能算符： Hamilton 算符： c、其它力学量算符 角动量算符： 3.2、力学量算符 1、力学量算符的具体形式 2、力学量算符是线性算符 3、力学量算符是厄米算符 4、力学量算符与状态波函数 微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。 考虑电子双缝衍射 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*] P Ψ1 Ψ2 Ψ S1 S2 电子源 感光屏 电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度 电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度 相干项 正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。 一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状态，Ψ 是这两种状态的叠加。 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。 态叠加原理一般表述： 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，... 一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. 力学量算符是线性算符 量子力学中的态叠加的含义与经典物理中波的叠加的含义不同。 态叠加原理是量子力学的一个基本原理，它给出严格的量子力学理论的限制，为了和它协调，量子力学的基本方程—薛定谔方程就是一个线性方程，表示力学量的算符都是线性算符。 量子力学态叠加原理告诉我们粒子的状态之间有一定关系，可通过状态了解各力学量间的关系。 3.2、力学量算符 1、力学量算符的具体形式 2、力学量算符是线性算符 3、力学量算符是厄米算符 4、力学量算符与状态波函数 3、力学量算符是厄米算符 力学量F 物理上测量到的力学量值都是实数，如坐标、 动量、能量、角动量等，它们的平均值也是实数。 3.2、力学量算符 1、力学量算符的具体形式 2、力学量算符是线性算符 3、力学量算符是厄米算符 4、力学量算符与状态波函数 4、力学量算符与波函数 a、力学量算符的本征方程 b、波函数 c、平均值公式 连续