第三章 力学量用算符表达+韩金钟1.ppt

例2：平面转子的能量本征值与本征态。 例3 求动量的 分量 的本征态。 例4 一维自由粒子的能量本征态。 简并问题 在能级简并的情况下, 仅根据能量本征值并不能把各能量的简并态确定下来. 在处理力学量本征问题时,特别是能量 的本征值问题, 常常出现本征态的简并, 这与体系的对称性有密切关系. 设力学量 的本征方程表为 即属于本征值 的本征态有 个,则称本征值 为 重简并. 出现简并时, 简并态的选择是不唯一的, 而且也不一 定彼此正交, 但总可以把它们适当线性叠加, 使之彼此正交. 在线性代数中, 通常采用Schmidt正交化程序来进行正交化. 令 因为 所以只要选择 , 使 , 即可得证. 证明如下 在常见问题中,当出现简并时, 往往是用(除 之外的)其他力学量的本征值来对简并态进行分类, 从而把它的简并态确定下来. 两个力学量是否可以有共同本征态? 或者说 是否可以同时测定? 此时, 正交性问题将自动解决. 这就涉及两个或多个力学量的共同本征态问题. 这将是下一节不确定度关系要讨论的问题! 引入 下面我们普遍地分析此问题. 当体系处于力学量 的本征态时,对其测量,可得一 个确定值,而不会出现涨落.但在其本征态下去测量 另一个力学量 时,却不一定得到一个确定值. 分析下列积分不等式 其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数. 3.3.1 不确定度关系的严格证明 设有两个任意的力学量 和 引进厄米算符 则 因为　与　为厄米算符， 所以 　　　 ,则得 　为实，不妨取 即 与 为厄米算符, 与 又均为实数, 与 也是厄米的. 在上式中， 让 则(1)式仍成立. 再考虑到 就可得出 或简记为 (2) 上式就是任意两个力学量 与 在任意量子 态下的涨落必须满足的关系式,即Heisenberg的不确定度关系(uncertainty relation)的普遍表达式. 所谓共同本征态，即是有共同本征函数，比如 若 ， 都有确定值，则 为 的共同本征态或共同本征函数。 能是例外), 或者说他们不能有共同本征态. 以找出它们的共同本征态. 由(2)式可以看出, 若两个力学量 与 不 对易, 则一般说来 与 不能同时为零, 即 与 不能同时测定. (但 的特殊态可 反之,若两个厄米算符 与 对易, 则可以 找出这样的态, 使 与 同时满足, 即可 (2) A、B对易子的平均值为0 思考题 1. 若两个厄米算符有共同本征态,是否它们就彼此对易 ? 思考题 2. 若两个厄米算符不对易,是否一定就没有共同本征态 ? 思考题 3.若两个厄米算符对易,是否在所有态下它们都同时具 有确定值 ? 思考题 4. 若[A,B] = 常数,A 和 B 能否有共同本征态 ? 思考题 5. 角动量分量 与 能否有共同本征态？ 例1 讨论动量 三个分量的共同本征态。 由于 ，所有 可以有共同本征态， 即平面波函数 具体表示为 相应的本征值为 例2 坐标 的共同本征态,即 函数 相应本征值为 思考题 6. px 和 y 可否有共同本征态 ? 采用球坐标, 角动量的平方算符表示为 3.3.2 的共同本征态,球谐函数 由于角动量的三个分量不对易, 一般无共同本征态. 分量(例如 )的共同本征态. ,可以找出 但由于 与任何一个 考虑到 的本征函数可以同时也取为 的本征态 其中, 是 的本征值( 无量纲),