第三章 湘江流量估计模型.ppt

3.1 湘江水流量估计的实际意义 3.1.1 数值求积的必要性 在高等代数中，曾用牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式： （其中F(X)是f(x)的一个原函数）来计算定积分。但是，在工程技术和科学研究中，常常遇到如下情况： f(x)的结构复杂，求原函数困难； f(x)的原函数不能用初等函数表示； f(x)的精确表达式不知道，只给出了一张由实验提供的函数表。 对于这些情况，要计算积分的精确值都是十分困难的，这就要求建立积分的近似计算方法。此外，积分的近似计算又为其它一些数值计算，例如微分方程数值解、积分方程数值解等提供了必须的基础。 3.1.2 构造数值求积公式的基本方法 可以从不同的角度出发，通过各种途径来构造数值求积公式。但常用的一个方法是，利用插值多项式来构造数值求积公式。具体做法如下： 在积分区间[a,b]上取一组点： 作f(x)的n次插值多项式： 其中 称为求积节点， 称为求积系数。若求积公式（3.1.3）中的求积系数 是由（3.1.2）确定的，则称该求积公式为插值型求积公式。 本章主要讨论插值型求积公式。 为了使一个求积公式能对更多的积分具有良好的实际计算意义，就应该要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。在计算方法中，常用代数精度这个概念来描述。 定义3.1.1 若求积公式： 对任意不高于m次的代数多项式都准确成立，而对于 却不能准 确成立，则称该公式的代数精度为m。 3.2 数值求积的Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）方法 在3.1 中，介绍了插值型求积公式及其构造方法。在实际应用时，考虑到计算的方便，常将积分区间等分之，并取分点为求积分节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。 本节在介绍一般牛顿-柯特斯公式的基础上，介绍几个常用的牛顿-柯特斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。 3.2.1 Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式 若将积分区间[a,b]n等分，取分点作为求积节点，并作变量替换 ,那么插值型求积公式(3.1.3)的系数由（3.1.2）可得： 则 于是，由（3.1.3）就可写出相应的插值型求积公式： 例3.2.2 当n=1时有两点公式： 当n=2时有三点公式 当n=4时有五点公式： 求积公式（3.2.3）就是梯形公式。 求积公式（3.2.4）称为辛普生（Simpson）公式其几何意义就是通过三点的抛物线围成的曲边梯形面积近似地代替原曲边梯形面积（见图3.2.1）。 因此，求积公式（3.2.4）又名抛物线公式。求积公式（3.2.5）称为柯特斯公式。 下述定理给出了这些求积公式的余项。 定理3.2.1 若 在[a,b]上连续，则梯形公式（3.2.3）的余项为： 若 在上连续，则辛普生公式（3.2.4）的余项为： 若 在上连续，则柯特斯公式(3.2.5)的余项为： 其中 3.2.2 复合Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式 由定理3.2.1知，当积分区间较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在电子计算机上实现，往往采用复合求积的方法。所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿—柯特斯公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。 例3.2.3 先将区间[a,b]n等分，记分点为 ，其中 ， 称为步长，然后在每个小区间 上应用梯形公式（3.2.3），即： 就可以导出复合梯形公式： 若将所得积分近似值记成 ，并注意到 ，则上式即为： 仿上，可得复合辛普生公式： 和复合柯特斯公式： 其中 定理3.2.2 若f(x)在积分区间[a,b]上分别具有二阶、四阶和六阶连续导 数,则符合求积公式(3.2.9)、(3.2.10)和(3.2.11)的余项分别为： 其中 ，