第九章 能量方法及静不定结构.ppt

习题 图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩Mo作用下，试 求析轴杆自由端的线位移和角位移。 l h Mo x1 1 x2 x1 1 x2 习题 在曲拐的端点C上作用集中力P。设曲拐两段材料 相同且 均为同一直径d的圆截面杆，试求C点的垂直位移。 P A B C a a x1 x2 1 A B C x1 x2 §9–5 用力法解静不定问题 对n次静不定问题（末知约束力数-独立静力平衡方程数=n），选择n个多余约束，它们的约束反力是X1，X2，...，Xn 2.确定补充方程：?n个多余约束处的约束位移是Δi，（i=1,2,...,n） 则有 指外力在第i个多余约束处产生的位移 指多余约束力Xj在第 i个多余约束处产生的位移 指n个多余约束力在第i个多余约束处产生的位移总和 补充方程是 假设多余约束力Xj为单位力，它在第i个多余约束处产生的位移为δij，则Xj在第i个多余约束处产生的位移就是δij×Xj 补充方程可写成 展开上式为 由位移互等定理：δij=δji, 上式中的矩阵是对称矩阵 3.解方程，求得n个多余约束力 例?9-10 求图示刚架的约束力。 C B A a q a X1 解： 1.属1次静不定问题(4-3=1)，取X1为多余约束力 2.补充方程 XA YA MA C B A q x2 x1 C B A 1 x2 x1 代入补充方程 解得 求出其它约束力 XC YC MC X1 X2 C B A 4m q 7m C B A q x2 x1 例9-11 求图示刚架的约束力。 2.?补充方程 列弯矩方程 解： 1.属2次静不定问题，取X1，X2为多余约束力 C B A 1 x2 x1 2 C B A x2 x1 用莫尔定理求位移 代入方程 用q=4×103N代入求出 再求出其它约束力 * §9–1 概述 一．变形固体的功能原理 适用条件： 线弹性材料；缓慢加载，忽略动能和其它能量变化； 2.功能原理： 外力的功全部变为变形固体的变形能 §9–２ 杆件变形能的计算 P-?l曲线： 一、轴向拉压： P ?l 外力做功： 杆件变形能： 例9-1 求图示杆件的变形能。 P d l (a) P d 2d 2d 3l/8 3l/8 l/4 (b) 解：方法1 P d l (a) P d 2d 2d 3l/8 3l/8 l/4 (b) 解：方法2 变形能： 二、扭转： 变形能： 变形能的普遍式： 三、弯曲： 例9-2 求图示梁的变形能。 C B A P M l/2 l/2 解：方法1：同时作用P和M C B A P M l/2 l/2 方法2：先作用P： 再作用M： 结果： §9–3 互等定理 作用方式1：先作用 P1,再作用P2： 一、功的互等定理 1 P1 2 ?11 ?21 1 2 ?12 ?22 P2 作用方式2：先作用 P2,再作用P1： 两种作用方式结果相同： 功的互等定理：P1在P2引起的位移?12上做功等于P2在P1引起的 位移?21上所做的功。 当P1=P2时： 位移互等定理：P力作用在2点而引起1点处的位移等于P 力作用在1点而引起2点处的位移。 二、位移互等定理 例?9-3 求图示梁跨度中点的挠度。 C B A M l/2 l/2 a 1 2 D (a) P C B A l/2 l/2 a 1 2 D (b) 解：M和P为广义力P1和P2，?D(b)和fC (a)为广义位移?12和?21，且知 根据功的互等定理： 习题 传动轴的抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。皮带拉力T+t=P，D=2d。试计算轴的变形能。设a=l/4。 l/2 l/2 a T t D d P 解：（1）将外力向轴线简化 T+t P A B C D (T-t)D/2 Pd/2 （2）扭转变形能 （3）水平方向弯曲变形能 （4）垂直方向弯曲变形能 （5）轴的变形能 CD段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2 §9–4 卡氏定理 一、定理 设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为P1，P2，…，Pi，…(广义)，相应在力方向的位移为?1，?2，…，?i…。则变形能是广义力的函数： 变形能的微分是： 按二种方式加载 同时作用P1，P2，…，Pi+d Pi，…，则 2.先作用d Pi，再作用P1，P2，…，Pi，…，则 由于U1=U2，略去二阶微量，则有 二、用卡氏定理计算基本变形 拉压变形 当N(x)为分段常量时： 2.扭转变形 当T(x)为分段常量时： 3.弯曲变形 当M(x)为分段常量时 对平面曲杆 例9-4 用卡氏定理求图示