第五章 函数与基数.ppt

第五章 函数与基数 5.1 函数基本概念 5.2 函数类型 5.3 函数运算 5.4 基 数 5.1 函数基本概念 函数也常称为映射或变换，其定义如下： 定义5.1.1 设A和B是任意两个集合，且f是从A到B的关系，若对每一个x?A，都存在唯一的y?B，使?x,y??f，则称f为从A到B的函数，并记作f:A?B。A称为函数f的定义域，即D(f)=A，B称为函数f的陪域，R(f)称为函数f的值域，且R(f)?B。有时也用f(A)表示函数f的值域，即 f(A)=R(f)={y|y?B∧(?x)(x?A∧y=f(x))} 并称f(A)为函数f的像。 对于f:A?B来说，若?x,y??f，则称x为函数的自变元，称y为函数因变元，因为y值依赖于x所取的值，或称y是f在x处的值，或称y为f下x的像。通常把?x,y??f记作f(x)=y。 从本定义可以看出，从A到B的函数f和一般从A到B的二元关系之不同有以下两点： ① A的每一元素都必须是f的有序对的第一分量。 ② 若f(x)=y，则函数F在x处的值是唯一的，即 f(x)=y∧f(x)=z?y=z 定义5.1.2 设f:A?B，g:C?D，若A=C，B=D，且对每一x?A都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为f=g。 本定义表明了，两函数相等，它们必须有相同的定义域、陪域和有序对集合。 下面讨论由集合A和B，构成这样函数f:A?B会有多少呢？或者说，在A?B的所有子集中，是全部还是部分子集可以定义函数？令BA表示这些函数的集合(称为由集合A到集合B的超幂)，即 BA={f|f:A?B} 设|A|=m，|B|=n，则|BA|=nm。(这里|A|表示集合A的基数,或者叫势)这是因为对每个自变元，它的函数值都有n种取法，故总共有nm种从A到B的函数。 5.2 函数类型 根据函数具有的不同性质，可以将函数分成不同的类型。本节将定义这些函数，并给出相应的术语。 定义5.2.1 设f:A?B是函数，若R(f)=B，即对任意b?B，存在a?A，使得f(a)=b，或形式表为： (?y)(y?B?(?x)(x?A∧f(x)=y)) 则称f:A?B是满射函数，或称函数f:A?B是满射的。 本定义表明了，在函数f的作用下，B中每个元素b，都至少是A中某元素a的像，因此，若A和B是有限集合，存在满射函数f:A?B，则|A|≥|B|。 定义5.2.2 设f:A?B是函数，对任意的a，b?A，且a?b，都有f(a)?f(b)，或形式表为 (?x)(?y)(x,y?A∧x?y?f(x)?f(y)) 则称f:A?B是单射函数，或称函数f:A?B是单射的。 本定义揭示了，A中不同的元素，其在B中像也是不同的。于是，若A的B是有限集合，存在单射函数f:A?B，则|A|≤|B|。 定义5.2.3 设f:A?B是函数，若f既是满射又是单射，则称f:A?B是双射函数（或一一对应），或称函数f:A?B是双射的。 该定义说明了，B中的每个元素b是且仅是A中某个元素a的像。因此，若A和B是有限集合，存在双射函数f:A?B，则|A|=|B|。 定义5.2.4 设f:A?B是函数，若存在b?B，使对任意a?A有f(a)=b，即f(A)={b}，则称f:A?B为常值函数。 定义5.2.5 设f:A?A是函数，若对任意a?A，有f(a)=a，亦即 f={?a,a?|x?A} 则称f:A?A为A上恒等函数，通常记为IA，因为恒等关系即是恒等函数。 由定义可知，A上恒等函数IA是双射函数。 定义5.2.6 设A和B为集合，且A?B，若函数fA: B?{0,1}为 1 x?A fA(x)= 0 否则 则称fA为集合A的特征函数。 特征函数建立了函数与集合的一一对应关系。于是，可通过特征函数的计算来研究集合上的命题。 定义5.2.7 设?A,≤?和?B,≤?为全序集，函数f:A?B。对于任意a,b?A. ①若a≤b，有f(a)≤f(b)，则称f为单调递增函数。