第四章 土木工程中的几何非线性问题.ppt

非线性有限元 第四章 几何非线性问题 基本概念 1.物体运动的描述 拉格朗日描述 欧拉描述 2.大变形问题的应变描述 应变张量 3.大变形问题的应力描述 4.大变形问题的本构关系 5.大变形问题的有限元方程 6.大变形问题的载荷处理 本章总结 小结 TL法有限元方程的建立（续） 将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到 刚度矩阵 形式较复杂，因问题的类型而不同。 载荷向量 TL法的求解步骤: Step 1：利用有限元方程求出 间隔内的位移增量 ； Step 2：利用几何关系，计算Green应变增量 ； Step 3：利用本构关系，计算Kirchhoff应力增量 ； Step 4：更新当前时刻 ；更新当前应力 ；计算当前刚度矩阵和载荷向量。 Step 5：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。 UL法有限元方程的建立 特点：总以t 时刻（即现时构型）为参考构型，也就是说参考构型是变化的，因而，采用现时Kirchhoff应力（增量）和现时Green应变（增量）。 UL法：Updated Lagrangian Description （ULD） 仿照TL法的推导，可得虚功方程： 优点：可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性问题等。 UL法的增量型虚功方程： UL法有限元方程的建立（续） 将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到 UL法的求解步骤及与TL法的比较: Step 1：利用有限元方程求出 间隔内的位移增量 ； Step 2：利用几何关系，计算现时Green应变增量 ； Step 3：利用本构关系，计算现时Kirchhoff应力增量 ； Step 4：更新当前时刻 ；更新当前应力, 根据 计算 ，并且使得 ；更新当前构型 ；计算当前刚度矩阵与载荷向量。 Step 5：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。 小结 大变形问题有限元方法与弹塑性问题有限元方法都是在增量意义上通过拟线性化，进而加以求解。 但弹塑性问题有限元方法在确定弹塑性状态时还应当进行迭代或按优化问题处理，这点与接触问题类似。 所以，从方法上说，弹塑性问题有限元方法包含了大变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。 载荷目前还没有考虑 重要区别 TL法的载荷项： UL法的载荷项： 体积力 表面力 体积力的处理 原则：物体的重力在变形过程中保持不变。 全量 增量 区别之处 表面力的处理 表面力的处理较为复杂，不但与构型变化有关，还与表面力的施加方式有关。以常见的集中力和均布力为例。 1）集中力 第一种情形：集中力的方向在整个变形过程中保持不变； 第二种情形：集中力的方向与所作用表面的夹角不变。 全量 增量 可按表面分布力的特殊情形加以处理，详见下面的分析。 表面力的处理（续） 大变形分析中一般分布载荷随变形的变化，是一个复杂的问题，很难进行定量研究。这里对均匀表面分布力随大变形的变化进行分析。 2）表面分布力 全量 增量 原则：不同时刻，这类载荷的合力一般保持不变。（其它情形仿此进行） 在 t 时刻： 在 时刻： 近似处理后 由于发生了不可忽略的较大变形，大变形问题的分析更加困难，所涉及内容更加丰富。一般来说，相对于小变形问题，大变形分析具有以下特点： 1）应变定义发生了变化。大变形问题的最鲜明特征就是描述应变－位移的几何关系发生了变化。在一些特殊问题中，大变形并没有产生较大的应变，这类问题可略去几何关系中的高阶部分，但必须采用大变形分析方法。实际上，这种对几何关系简化处理，是经过对更一般的几何非线性关系检验后而确立的。 2）构型发生了变化。由于具有较大的变形（位移和/或应变），大变形问题在不同时刻其构型差异较大，必须区别对待 。 3）应力、应变描述发生了变化。由于不同时刻具有不同的构型，并且可以选取不同的参考构型，大变形问题中的应力描述、应变描述以及变分方程都发生了相应的变化。 * 几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。 物理现象：将