第四章泊松过程2.ppt

§2. 泊松过程的0-1律 本节主要研究在充分小的时间区间内发生跳的次数等于或大于2的概率趋于0 定理4.2.2 对于参数为λ0的泊松过程N(t)，它满足如下的性质：对任意的时间指标t0和充分小的h0, 其中 表示h的高阶无穷小. 定理4.2.3 如果一个计数过程 具有平稳独立增量性且满足定理4.2.2中的性质(1)(2)，那么这个计算过程一定是个泊松过程 证明：我们只需要证明 令 先考虑函数 ，其中h0充分小. 于是 令上式两边h→0,得 解上边的常微分方程得 下面考虑函数qk(t+h), 其中k=1,2,··· 整理上式得 令上式两边h→0,得迭代常微分方程 解上边的常微分方程得 例子1 对于参数为λ0的泊松过程N={N(t)：t≥0},求在{N(t)=1}的条件下，泊松过程N的第一个达到时间间隔T1服从的概率分布 更一般有以下问题 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如果 在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时间 服从怎样的概率分布?? 例2 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如果在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时间 的联合密度函数为 例4（几何泊松过程）设N={N(t),t≥0}是参数λ0的泊松过程，假设常数σ-1，定义随机过程： 其中t0和 那么对任意的0≤st∞有 证明 例6：设在时间区间[0,t]内来到某商店的顾客数N(t)是强度为λ的泊松过程，每个来到商店的顾客购买某货物的概率为p，不买东西离去的概率是1-p,且每个顾客是否购买货物是相互独立的，令Y(t)为[0,t]内购买货物的顾客数。试证{Y(t),t≥0}是强度为λp的泊松过程. 例7：某中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔一个记录一次，假设粒子按照比率4个每分钟的泊松过程到达，令T是两个相继被记录粒子之间的时间间隔（单位：分钟）试求： (1)T的概率密度函数. (2)P(T≥1) 解题思路: 由poisson过程是平稳的独立增量过程. 可知相继被记录的时间间隔是独立同分布的. 例8 设有两个相互独立的、强度分别为 和 的 Poisson过程 和 ，试证在过程 中两个相邻事件间，过程 出现k个事件的概率为 和 中出现第ｋ次事件 例9 设 是两个相互独立 的Poisson过程，它们在单位时间内发生事件的平均数分别为λ1和λ２ .设 代表第一过程 中出现第ｋ次事件所需的时间， 代表第二过程 所需的时间．试求： (1)第一过程中出现第一次事件先于第二过程出现第一次事件的概率，即 (2)