自控原理9(第九章438-460).ppt

令： S0 为 [q?(n+1)p] 矩阵，称为 输出可控性矩阵。 共 q行 输出可控的充分必要条件是：输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 q，即： 需要注意的是，状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然的联系。 [例9-25] 已知系统的状态方程和输出方程为： 试判断系统的状态可控性和输出可控性。 * [凯莱-哈密顿定理]: 设 n 阶矩阵 A 的特征多项式为： (9-117) 则 A 满足其特征方程，即： [证明] 由于： (9-118) (9-119) 式中 B(?) 为 (?I?A) 的伴随矩阵，其一般展开式为： 显见 B(?) 的元素均为 (n ?1) 阶多项式，根据矩阵加法规则可将其分解为 N 个矩阵之和，即： 式中 Bn?1, Bn?2, …, B0 均为 n 阶矩阵。将式（9-119）两端右乘(?I?A)，得： 将式 (9-120) 代入式 (9-121) 并展开有： 令式 (9-122) 等号两边 ? 同次项的系数相等，可得： An? An?1? A ? 将式 (9-123) 两端按顺序右乘 An, An?1, ?, A 得： 将式 (9-124) 中各式相加，可得： 证毕。 [推论1] 矩阵 A 的 k (k≥n) 次幂可表示为 A 的 (n?1) 阶多项式，即： 式中的 ?m 与 A 阵的元素有关。此推论证明较为简单，可直接 利用凯莱-哈密顿定理，见书上P439。（略） [推论2] 矩阵指数 eAt 可表示为 A 的 (n?1) 阶多项式，即： 式中 ?m (t) (m=0, 1, 2, ?, n?1)均为 t 的幂级数。此推论可利用 凯莱-哈密顿定理和推论1证明，见书上P439。（略） [秩判据] 线性定常连续系统 (9-107) 完全可控的充分必要条件是： 其中，n 为矩阵 A 的维数，S=[B AB … An?1B] 称为系统的可控性判别阵。 （ ） [证明] 充分性：假设 rank S = n，欲证系统完全可控。 采用反正法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知： 为奇异， 这意味着存在某个非零 n 维向量 ? 使： 成立。显然，由此可导出： 将式 (9-129)对 t 求导直至 n?1 次，再在所得结果中令 t=0，得： 式 (9-130) 又可表示为： 由于? ?0，所以式 (9-131) 意味着 S 为行线性相关，即 rankS n，显然和已知 rankS = n 相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。 必要性：假设系统完全可控，欲证 rank S = n。 采用反正法：反设 rankS n，这意味着 S 为行线性相关，因此必存在一个非零 n 维常数向量 ? 使： 成立。要使上式成立，向量 ?TS 的每一个元素都必须为零，即： 根据凯莱-哈密顿定理，An, An+1, … 均可表示为 A 的 (n?1 ) 阶多项式，因而式 (9-132) 又可写为： 从而对任意 t10 有： 或： 因而有： 因为已知 ? ? 0，若式(9-135)成立，则 W (0, t1) 必为奇异，系统为不完全可控，这与假设相矛盾，于是应有 rank S = n，必要性得证。 （秩判据证毕） [例9-17] 桥式网络如图9-26所示，试用可控性判据判断其可控性。 [解] 该桥式电路的微分方程为： 选取状态变量 x1=iL，x2=uc，消去微分方程组中的 i1, i2, i3, i4，可得状态方程为： 可控性矩阵为： 当 时，rank S = 2 = n，系统可控。但是，当 电桥处于平衡状态，即 R1R4= R2R3 时， 及 成立，这时状态方程变为： 可控性矩阵为： rank S = 1n，系统不可控，u 不能控制 x2，x2 是不可控状态变量。 [例9-21] 判定下列系统的可控性： [解] 可控性判