量子力学 第三章3.5厄米算符本征函数的正交性.ppt

* * 一、两函数正交的定义： 三维空间中二矢量正交： N维空间中二矢量正交： 若两函数 满足关系式： 则称为两函数 相互正交，式中积分是对变量变化的全部区域进行的。 例如：动量本征函数 ，则： 这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数 相互正交。 二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交 证明： 因 ； ，则有： 而 设厄米算符 对应于不同本征值 、 的本征函数为和 ，即证： 。 属于不同本征值的本征函数都是正交的。 则： 即： 所以： ，证毕。 无论 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及其证明都成立。 而 说明： 于是称 为厄米算符 的正交归一本征函数系。 假若 的本征值组成分立谱，且 ， 则： 假若 的本征值组成连续谱，则代替上式有： 于是称 为厄米算符 的正交归一本征函数系。 三、厄米算符属于相同本征值的本征函数的正交性（简并情况） 于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我们总可以用 个常数 把这 个函数线性组合成 个新的线性独立的待定函数 ，即： 其中 仍然是 的本征函数（迭加原理），即： 如果 的一个本征值 是 度简并的，既有 个（而不是一个）本征函数 都属于相同的本征值 ，而且是线性无关的，则有： 使新函数 组成正交归一系应满足的条件为： 即待定系数 必须满足的条件有 个方程，其 中 的归一化条件有 个； 的正交条件有 个。 而待定系数 共有 个值。 个 个 由简并的这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数，它们仍属于原本征值且满足正交归一化条件。 于是只要 ，就有 ，即待定系数 的个数大于条件方程的个数，所以 可以有许多选择方式，使得函数 满足正交归一化条件。 说明：在实际计算中，当出现简并时，为了把 的本征态确定下来，往往用与 对易的其它的力学量算符的本征值来对体系的状态分类，其本征值与 一起共同确定状态，此时正交性问题自动得到解决。如： 的本征值为 ，对于确定的 ，其本征函数 是 重简并的。用与 对易的算符 的本征值 来确定态函数 ，此时，它对应的本征值为 ，这时，波函数是唯一确定的。 综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。