10.2 数项级数的审敛法.ppt

10.2 数项级数的审敛法 * 第十章 无穷级数 10.2.4 小结 10.2.1 正项级数 10.2.2 交错级数 10.2.3 任意项级数 10.2.1 正项级数 把各项都是非负的级数称为正项级数． 定理1 正项级数 收敛的充分必要条件 有界． 证 若正项级数 收敛，则部分和数列 极限存在，从而 有界． 若正项级数 的部分和数列 有界， 而 又是单调递增的，由极限的单调收 敛准则可得数列 的极限存在，所以 收敛． 定理2（比较审敛法）设 是两个 正项级数，且 ．若级数 收敛，则级数 也收敛；若级数 发散，则级数 也发散． 推论 设 是两个正项级数，且存在 ，对一切 有 （其中常数 ）．若级数 收敛，则级数 也 收敛； 发散，则级数 也发散． 例1 讨论 级数 的敛散性，其中常数 若级数 解（1）若 ，因为对一切 有 而调和级数 发散，由比较审敛法可知 级数发散． (2) 若 因为当 时， 从而 由于正项级数 的部分和 趋于1 ，所以正项级数 收敛，由比较审敛法知 级数收敛． 综上所述，对于 级数，当 时收敛， 时发散． 例2 判断正项级数 的敛散性． 解 当 时， ，而级数 比调 和级数 只少第一项，具有相同的敛散 性，所以级数 发散，从而原级数发散。 定理3 设两个正项级数 满足 则有 (1) 当 时，两个级数同时收敛 或发散； (2) 当 且 收敛时， 也收敛； (3) 当 且 发散时， 也发散． 例3 判定下列级数的敛散性： （1） （2） 解 （1）因为 而 级数 收敛，由比较审敛法的极限 形式知， 收敛． （2）因为 而等比级数 收敛，由比较审敛法的极限 形式知， 收敛． 定理 4 （比值审敛法或达朗贝尔判别法）设 为一个正项级数，且 则 （1） 当 时，级数收敛； （2） 当 或 时，级数发散； （3） 当 时，级数可能收敛也可能 发散． 定理5 （根值审敛法或柯西判别法）设 为一个正项级数，且 则 （1） 当 时，级数收敛； （2） 当 或 时，级数发散； （3） 当 时，级数可能收敛也可能 发散． 例4 判断下列级数的敛散性： （1） （2） （3） 解 （1）因为 由比值审敛法知，级数 收敛． （2）因为 而 有界，故 从而 由根值审敛法知级数 收敛． （3） 因为 此时比值审敛法失效，改用比较审敛法，易知 而级数 收敛，所以级数 收敛． 10.2.2 交错级数 各项符号正负相间的级数称为交错级数． 记作 或 若交错级数 满足条件： （1） （2） 则级数收敛，且其和 ，级数余项满足 定理6（莱布尼茨判别法） 例5 证明级数 收敛，并估计 级数的和及余项． 证 不难看出，此交错级数满足： （1） （2） 由莱布尼茨判别法知，级数是收敛的，且有 10.2.3 任意项级数 各项为任意实数的级数为任意项级数． 如果任意项级数 的每一项都取绝对 值之后构成的正项级数 是收敛的，则称 级数 为绝对收敛． 若 发散而 收敛，通常称级数 为条件收敛． 定理7 绝对收敛的级数必收敛。 例6 判断下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛? (1) (2) (3) 解（1）首先考虑每一项取绝对值后的级数 不难看出它是收敛的p级数，发散。 再来考察级数 的敛散性，易见 *