103任意项级数.ppt

无穷级数 1，交错级数 2，绝对收敛与条件收敛 * * 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数。即交错级 数可以写为如下形式： 定理1：（莱布尼茨判别法 ） 10-3 任意项级数 证： 定理证毕。 也是一个交错级数，又满足交错级数收敛的两个条件，故其和不超过首项。 解：两级数均为交错级数。 故级数（2）收敛。 故由莱布尼茨判别法 ，级数（1）收敛。 (1) (2) 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数。 证明： 由正项级数的比较判别法， 注：定理2反过来并不成立。 例２：讨论如下级数的敛散性。 解： 故由比较判别法级数（1）绝对收敛。 绝对收敛的级数可以任意重新排列其中的项 而其和保持不变． 条件收敛的级数不具备上述性质． 命题１　一个绝对收敛的级数的和数，等于它的所有的正项组成的级数的和数加上它的所有的负项组成的级数的和数． 定理３若级数 　　绝对收敛， 次序后所得的新级数 也绝对收敛, 且其和不变. 则将它的各项重新排列 命题２　收敛的正项级数经过重排后仍然收敛 且其和不变． *定理4　若两个级数 与 　　 均绝对收敛， 则由它们的项相乘所得的乘积 按任意次序相加所成的级数绝对收敛到两级数的和数之乘积． 3，狄利克雷Dirichlet判别法与阿贝尔Abel判别法 Abel 变换（分部求和公式） Abel 变换式 阿贝尔引理： 证： 由Abel 变换式及引理条件 定理5（狄利克雷判别法） 的任意部分和序列有界， 证: 显然, 也是单调的; 即 与 满足阿贝尔引理的条件, 由柯西准则,即可证明 收敛. 为无穷小量, 即存在常数 M0 使 定理6（阿贝尔判别法） 证: 单调有界, 所以有极限. 设 序列 单调且 其部分和序列有界, 由定理5知: 级数 收敛, 收敛. 例: 证明级数 收敛. 证: 时序列 单调下降趋于0, 且 有界, 根据（狄利克雷判别法）,所以级数收敛. 例: 讨论级数 的敛散性. 解: 且当 时 收敛, 时原级数绝对收敛. 时原级数显然发散. 当 时 而序列 为一单调上升且趋于1, 条件收敛, 显然有界. 由（阿贝尔判别法）知原级数收敛. 但由于 发散, 所以 时原级数条件收敛. 通项 * *