11.3 交错级数和任意项级数.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 第十一章 山东交通学院高等数学教研室 11.3 交错级数和任意项级数 一、交错级数及其审敛法 二、任意项级数与绝对收敛、条件收敛 一 、交错级数及其审敛法 则交错级数为 或 1. 定义 各项是正负交错的级数称为交错级数. 例如, 2. 形式 定理1 ( Leibniz定理 ) 则交错级数收敛, 其余项满足 且其和 若交错级数 满足条件: 注: ① 条件(1) (2)充分非必要条件. ② 定理只适用于判定交错级数. ③ 不是一般项. 例1 判定下列级数的敛散性: 解: (1) 则 显然 由Leibniz 定理知, 收敛 发散. (2) 则级数变为: 由Leibniz 定理知, 收敛. (3) Th1 不存在 发散 注: 若 Leibniz 定理中只是条件(2)不满足, 则可以断定 交错级数发散. 解: 则 则 从而原级数收敛. 注: 判定 单调性的方法: 可利用函数 f (x) 的单调性 二、任意项级数与绝对收敛、条件收敛 正项级数 任意项级数 定理2 收敛 收敛 问题: 与 的收敛性之间有什么关系? 注: (1) 判定 是否收敛, 应先判断 是否收敛. (2) 若 收敛, 则不能断定 收敛. 例如: 收敛, 发散. 但是 定义: 若 收敛 , 为绝对收敛； 则称级数 为条件收敛. 则称级数 若 收敛 , 发散 , 条件收敛. 绝对收敛, 例如: 例2 判定级数 的收敛性. 解: 而 收敛 , 收敛, 因此 收敛, 且绝对收敛. 解: 令 例3 判定级数 的收敛性. 因此 收敛, 且绝对收敛. Th2 收敛, (3) 若 发散, 不一定发散. 则可以断定 发散. 但是,如果用比值法来判定 发散， 则 判定任意项级数 敛散性的思路: 发散 = 绝对收敛 ？ 发散 判定 比值法 发散 比较法 发散 条件收敛 发散 例4 如果收敛， 是绝对收敛还是条件收敛? 判定下列级数的收敛性 ， 解： 而 收敛 收敛, 从而原级数绝对收敛. 发散. 对应的正项级数为: 发散. 由比值法知, 例3 结论 解： 时, 时, 且 取 绝对收敛. 发散 收敛, 是条件收敛. 对应的正项级数为: 由Leibniz 定理知, 收敛 不绝对收敛. 解： 绝对收敛, 条件收敛. 收敛, 发散, p-级数 例5 讨论级数 的收敛性. 解: 原级数绝对收敛; 原级数发散; 原级数为 时收敛， 时发散, 原级数为 时绝对收敛， 时条件收敛. 例5 已知 与 都收敛, 求证: 绝对收敛. 证明: 与 都收敛, 收敛. 绝对收敛. 与 取 收敛. 绝对收敛. 收敛,