附录3 数理统计基础.ppt

区间估计与置信区间 区间估计的性质 一个点估计也许是研究者对总体值的最好猜测，但根据其性质，它并不能告诉我们估计值到底离总体参数有“多么”接近。 连同点估计值一起报告估计量的标准差，提供了估计值的某些精确度信息。 但这样也并没有直接陈述总体值很可能落在相对于估计值的什么地方。通过构造置信区间(confidence interval)，可以克服这一局限。 置信区间(Confidence Interval) 例:令{Y1,…, Yn}是来自正态总体Normal (μ,σ2)的一个随机样本。 我们知道样本均值Y ˉ ~ Normal (μ,σ2/n), 将Y ˉ标准化，标准化的Y ˉ服从一个标准正态分布，所以有： 随机区间 包含总体均值μ的概率是0.95或95%。 我们称 是μ的一个95%置信区间。我们的意思是，随机区间 包含μ的概率是0.95。换句话说，在抽取随机样本之前，上式便有95%的机会包含μ。 “μ落在区间上的概率是0.95.” 正态分布总体均值的置信区间 μ为已知值时，95%的置信区间是 对于未知的σ, 我们用S代替σ so 为了构造一个95%的置信区间，令c表示tn-1分布中的第97.5百分位数。 换言之，c是这样一个值，使得tn-1中的面积有95%落在–c与c之间： P(-c tn-1 c)=0.95. 一旦适当选定了c，随机区间包含μ的概率就是0.95。对于一个特定的样本，这个95%置信区间将计算为： 更一般地，令cα表示tn-1分布中的第100(1-α)百分位数，则可把100(1-α)%置信区间取为： 简单经验法则 回顾 定义yˉ的标准误为 则一个100(1-α)%的置信区间可简写为： 95%置信区间的简单经验法则： 对于α=0.05，随着n→∞， 。求一个近似95%置信区间的经验法则为： 假设检验(HYPOTHESIS TESTING) 零假设(Null hypothesis) H0：θ=θ* 对立假设(Alternative hypothesis) : H1：θθ* 或 H1：θθ* H1：θ≠θ* 检验统计量计算统计量的结果 置信水平临界值 拒绝域 单侧对立假设 双侧对立假设 第一类错误和第二类错误(Type I error Type II error) 第一类错误：拒绝一个其实是真的虚拟假设 第二类错误：H0实际上是错的，但我们没有拒绝它。 把一个检验的显著性水平(significance level)定义为犯第一类错误的概率，并典型地记它为α。 一个检验的功效(power of a test)就是1减去犯第二类错误的概率。 第一类错误和第二类错误 Decision H0 为真 H0为假 拒绝 第一类错误 (p-value) 正确选择 不能拒绝 正确选择 第二类错误 (1-power) 单侧检验(One-tailed test) 考虑对立假设 H0：μ = μ0, H1：μ μ0. 对yˉ进行标准化，用σ代替样本标准差s: 在虚拟假设下，随机变量 一旦我们找到临界值c, 拒绝法则为 t c c为tn-1分布中的第100(1-α)百分位数。 相对于单侧对立假设H1：μ μ0的5%显著性水平的拒绝域 Area=0.05 Area=0.95 0 c 拒绝域 不同的显著性水平将产生不同的临界值。 单侧检验– 拒绝域在t分布的单侧。 相对于单侧对立假设H1：μ μ0 的5%显著性水平的拒绝域 Area=0.05 Area=0.95 0 -c 拒绝域 双侧检验(Two-tailed test) H1：μ≠μ0 以下拒绝规则给出了一个显著性水平为100α%的检验 |t| c, |t|为t统计量的绝对值. 注意: c为tn-1分布的第100(1-α/2)百分位数 相对于双侧对立假设H1：μ≠μ0的5%显著性水平的拒绝域 Area=0.025 Area=0.025 Area=0.95 0 -c c 拒绝域 拒绝域 p值的计算和使用 考虑在一个Normal (μ, σ2)总体中检验H0: μ =0的问题。假定n足够大，以至于认为T在H0下服从一个标准正态分布。 p-value= P(Tt|H0)= 1-Φ(t) 其中Φ(.)代表标准正态cdf, t为T观测值。 对于一