随机过程 概率论复习(彭秀艳).ppt

基础及应用 多元特征函数： 第七节 随机变量序列的极限定理 一，随机变量的收敛性 引理1：马尔科夫不等式 设随机变量的 有r阶绝对矩，即 则对任意 0,有 返 回 证明：设 的分布函数为 ，则： 引理2 切比雪夫不等式 设随机变量 的二阶中心矩存在，即 ，对任意 有： 证明：利用马尔科夫不等式，令r=2,且用 代替 则有切比雪夫不等式 四种收敛定义 定义1：称随机变量序列 几乎必然 （或以概 率1）收敛到 如果 或 记为 几乎处处 使 定义2 ：对任意 ，如果： 或 则称 以概率收敛于 记为： 当nN时, 定义3 依分布收敛 设随机变量 ， 的分布函数分别为 和 ， 如果在 每个连续点有 ，则 称 依分布收敛于 记为： 或 定义4 r阶收敛 对于随机变量序列 和 ，假设 ， ，且r0为常数，如果 则称 r 阶收敛于 记做： 或 特别 当r =2时，称为均方收敛。 定理 其逆不真。 证明：由马尔科夫不等式，对任意 ，有 故定理得证。 四种收敛性的关系可以归结为： 强收敛 弱收敛 第八节 大数定理 定理1 马尔可夫大数定理 设 为随机变量序列，对任意正 整数 ，有 和 则称 服从大数定理，即： 对任意的 ，有 或 返 回 证明：利用切比雪夫不等式，即对任意 ，有 令其中的 故 定理得证 定理2 切比雪夫大数定理 （1866年俄国） 设 为独立随机变量序列，如果有常数c0, 使得 则 服从大数定理， 即: 证明：取 由切比雪夫不等式有： 定理3 辛钦大数定理 设 为相互独立且具有相同分布的随机变量序列，且数学期望存在，即 则 服 从大数定理 即 证明：应用马尔可夫不等式 设 定理成立 定理4 柯尔莫哥洛夫强大数定理 设 是独立随机变量序列，如果 ，则 或者 证明 略 定理：上述两个定义是等价的，即 证明要用到测度论，故从略。 二、随机变量的分布函数 若引进克罗尼克Kronecker- - 函数 ( ) ( ) ( ) i i a x x p x p - = ? ￥ = d 1 三、随机变量的函数的密度及分布 第五节 随机变量的示性函数 一、均值和方差 返 回 二、相关系数 定义：称 三、相关系数性质 证明： 证明： （ⅰ）与（ⅲ）等价 （ⅰ）与（ⅳ）等价 （ⅰ）与（ⅳ）等价 证明： 举一反例来说明性质（3）的逆不成立。 （4）对于二元正态分布，不相关与独立是等价的。 证明：只须证明由不相关性推出独立性即可，这里的证明只能以2维为例。