高一向量知识点+例题.doc

向量知识点 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．，其方向是任意的，与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设，则+== （1）；（2）向量加法满足交换律与结合律； ，但这时必须首尾相连．长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 ②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差。 ③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、 4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得= 6、平面向量基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 分别为与轴，轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算： 若，则 若，则 （3）若=(x,y)，则=(x, y) （4）若，则 （4）若，则 ，若，则 三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积） 规定 2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立： ； 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立： ②对实数的结合律成立： ③分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或= 7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则·= 8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos== 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥ 10两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O平面向量数量积的性质 11、向量的三角不等关系 注意取等条件（共线） 例题。 例1。已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。设且； （1）求；职 （2）求满足的实数m,n的值； （3）求M，N的坐标及向量； 例2。已知互相垂直， 则k？ 例3。已知AD，BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，且则=？ 例4。已知的夹角。 例5。已知夹角是1500； 计算：（1）； （2）； 练习：1 已知向量（ ） A． B． C． D． 2 已知向量则的坐标是（ ） A． B． C． D． 3 已知且∥，则x等于（ ） A．3 B． C． D． 4 若则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5 若，与的夹角是，则等于（ ） A．12 B． C． D． 6.已知垂直，则等于 7已知等边三角形ABC的边长为1，则 8.设是两个单位向量，它们的夹角是，则 1.已知平面内三点、、三点在一条直线上，，，，且，求实数，的值． 2.已知的夹角为，求 3 平面向量已知∥，，求及夹角 4．已知a和b的夹角为60°|a|＝10，|b|＝8，求： （1）|a＋b|；（2）a＋b与a的夹角θ的余弦值.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量. 设a（cos23°cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋tb(t∈R)求（1）a·b；（2）u的模的最小值. 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及＋t 求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 已知a(3，4)，b＝(4，3)，c＝xa＋yb且a⊥c|c|＝1，求x和y的值. 1.已知两点，，，则点坐标是 （ ） A． B． C． D．．下列向量中，与向量 A． B． C． D． 3．a，b，则向量a在向量b方向上的投影为 （ ） A．