例4,判断下列函数是否是满射、单射、双射。.PDF

4,判断下列函数是否是满射、单射、双射。 (1)f:N→Z,F (n)=小于n 的完全平方数的个数 f(n)={0、0,1,1,2,2,3,2,4,2,5、2 } :f(48)=7 f(49)=7 f(50)=8, 不是单射,48,49 的像均是7,不是满射,因负数没有原像。 如f:N-N,则f 是满射。 (2)f:R→R,f(a)=2a+5 y∈R 存在X=(Y-5)/2使得F(X)=Y,则F 是满射。 如 x1,x2∈R,X1≠X2,则2x1+5≠2x1+5,即f(x1)≠f(x2) 所以:f是单射 从而F(x)=是双射 (3)f:R→Z,f(a)=[a],[a]是取整函数,表示不大于a 的最大整数。 F 是满射,但不是单射,从而也不是双射。 (4)f:z+→R,f(n)=Lgn,z+为正整数集合。 f 不是单射也不是满射。 3、常用函数: 定义29： (1)f是A 到B 的函数,存在一个b∈B,使的 a∈A,f(a)=b (2)恒等关系,集合 A 上的恒等主要是 A →A 的函数, 即 a ∈ A,IA(a)=a,IA 是双射。 (3)单调递增函数和单调递减函数、f:R→R 的函数。 (4)特征函数:设A 为一个集合,B˝ A ,子集B 的特征。 函数X 是A→E=的映射,定义为: X =1,a∈B; X =0,a∈A-B B B B (5)自然映射:设R 是A 上的余角关系,g 是A 到A/R 上的映射, 即g(a)=[a]([a]是a 生成的等价类)称g 是A 到A/R 的自然映射。 :A={1,2,3,4},B={1,4}, 则B 的特征函数, XB (1)=1, XB (2)=0,XB (3 )=0, XB (4)=1 :A={a,b,c},R={a,b,b,a}∪IA,等价类[a]=[b]={a,b}, [c]={c},A/R={{a,b},{c}},则g(a)=g(b)=[a],g (c)=[c]。 二、复合函数 定义30:函数f:A→B,g:B→C,则复合关系f●g 称为函数f 和g 的 1 复合函数 定理17:设函数f:A→B,g :B→C,则复合称f●g 是从A 到C 的函数, 而且 a∈A,(f●g)(a)=g(f(a)) 证:因f 是函数, a∈A 存在 一 b∈B,f(a)=b,因 g 是函数存在 一的 c 使得g(b)=c,∴g(f(a))。而根据复合关系,a,c∈f●g, 由此可知 a ,存在 一c∈C,使得(f g)(a)=c,所以,f g 满足函 数条件且(f g)(a)=g(f(a)) 5:使集合A={a,b,c},A 上的两个函数: F={1,3,2,1,3,3}, g={1,2,2,1,3,3} 则f g={1,3,2,2,3,1},g f={1,1,2,3,3,2} f f={1,2,2,3,3,1},f f f={1,1,2,2,3,3}=IA 6:R 上的三个函数,f(a)=3-a,g(a)=2a+a h(a)=a/3 则(f g)(a)=g(f(a))=g(3-a)=2(3-a)+1=7-2a (g f)(a)=f(g(a))=f(2a+1)=2-2a((f g)h)(a) =h((f g)(a))=h(g(f(a)))=h(7-2a)=(7-2a)/3 定理18:设函数F:A→B;g:B→C ;h:D→C,则 f (g h)=(f g) h 由复合关系运算的结合中主即可以到复合函数的结合律 定理19:设函数f:A→B ,g:B→C 则: (1) 若f 和g 都是满射,则f g 也是满射； (2) 若f 和g 都是单射,则f g 也是单射； (3) 若f 和g 都是双射,则f g 也是双射。 证明: (1) Z∈C 因g 是满射,则存在y∈B ,使g(g)=z,因f 满射,对 于 y ∈B,存在 x ∈A,使得 f(x)=y, ∴g(f(x))=z 即(f g)(x)=z ,所 以,f g 是满射。 (2)设x1,x2 A,X1=X2,由f 单射,f(x1) f(x2), 设g1=f