高数 空间曲面.ppt

* * 二次曲面 柱面 球面 锥面 旋转面 二次曲面 小结 在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0 表示空间曲面，而 则表示空间曲线. 本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方 程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状. 所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平 面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌. 一、球面 与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面.下面 建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当 | P0 P | = R , 所以该球面方程为: 若球心在坐标原点,则球面方程为: x2 + y2 + z2 = R2 将上述方程展开得 即 其中 这个方程的特点为: (1) 它是三元二次方程; (2)平方项的系数都相等且不为零(可设为1); (3)不含有交叉项 xy, yz , zx. 一般地 , 满足上述三个条件的方程 , 其图形总 是一个球面 .事实上 , 通过配方法,每一个这样的方 程都可以化为: 当 k ＞0 时,表示球心在P0(x0 , y0 , z0 ),半径为 的球面方程; 当 k = 0 时,球面缩为一点;当 k ＜0 时, 无图形(通常称为虚球面). 例如，方程 配方后得: 是以(1, 1, 0)为球心, 半径为2的球面. 二、柱面 由一族平行直线形成的曲面叫做柱面，这些 平行的直线称为柱面的母线，在柱面上与各母线 垂直相交的一条曲线称为柱面的准线，通常用垂 直于母线的平面去截柱面就得到一条准线L，准 线不是唯一的.柱面也可以看成由一条动直线L沿 定曲线C平行移动所得到的曲面，L称为母线，C 称为准线.（图6.1） x y z o L C 下面建立柱面方程. 设有一柱面, 选取 坐标系，使该柱面的母 线平行于z轴, 点P(x, y, z) 为柱面上任一点, 当该点 平行于z轴上下移动时,它 仍保持在柱面上,也就是说, 不论z为何值, P(x, y, z)的坐 图6.1 标都满足柱面方程. 因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为: F (x , y) = 0 它与 xoy 面的交线 就是它的一条准线. 一般地,在空间直角坐标系中,方程 F (x , y) = 0 (不含z), 表示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线 方程 G (x , z) = 0(不含y), 表示母线平行于y轴 方程 H( y, z) = 0(不含x), 表示母线平行于y轴 的柱面,它的一条准线为 为 的柱面,它的一条准线为 例10 说明下列方程在空间直角坐标系中各 表示什么曲面? 解 椭圆柱面:母线平行于x轴, 准线是 yoz面上的椭圆(图6.2) ; (2)圆柱面:母线平行于z轴, 准线是xoy面上的单 位圆 (图6.3) ; (3)抛物柱面:母线平行于z轴, 准线是 xoy面上的 抛物线(图6.4) ; (4)双曲柱面:母线平行于y轴, 准线是xoz面上的 椭圆(图6.5) ; (5)过z轴的平面:母线平行于z轴, 准线是xoy面上 的直线(图6.6) ; 图6.2 图6.3 y z x x y z y o x z z x y o 图6.4 图6.5 x y z o 图6.6 三、锥面 过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面. 这些直线叫做它的母线，定点叫做它的顶点.在 锥面上与各条母线都相交的曲线叫做它的一条 准线，准线不是唯一的，通常可取在一个平面 上的截线作为其准线（图6.7）. 如果准线是一个圆， 顶点在通过圆心且垂直 于此圆所在平面的直线 上，这样的锥面叫圆锥 面. o x y z 图6.7 下面建立锥面的方程. 已知锥面的顶点为A(x0, y0, z0) , 准线为 L: 设 P(x, y, z) 为锥面上任一点, 母线AP交准线于点P1(x1, y1, z1) , 则由直线的两 点式方程知母线AP的方程为: 同时点P1(x1, y1, z1) 满足: F1(x1, y1, z1) = 0, F2(x1, y1, z1) = 0 三元方程: F (x, y, z) = 0 这就是以A为顶点L为准线的锥面方程. 由上面四个等式消去参数 x1, y1, z1可得一个 一般地, 方程 表示一个顶点在原点的锥面,用平面 z = c 去截它, 就得到一条准线 这是一个椭圆, |c|由0逐渐增大