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高等数学-3_4单调性
第四节 习题 一、P120 1(2)(3)(8);2(1)(3);3 二、P124 1(1)(6);2;3(3) 例6. 证明 定理2.(凹凸判定法) * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 一、函数单调性的判定法 三、曲线的凹凸与拐点 二、函数单调性的应用 一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b )内可导, 若对任意 x∈( a , b ) 都有 则 f ( x )在[ a , b ] 上单调增加 (单调减少). 注: 定理中[ a , b ]改为其它类型的区间, 结论仍成立。 注: 求 f ( x ) 单调区间的步骤 (书P113) 1. 写出 f ( x ) 的定义域; 2. 求 并求出 f (x) 的驻点 和使 不存在的点。 使导数 f ′(x0)=0的点 x0 称为 f (x) 的驻点。 3. 用 驻点与不可导点作分点,把定义域划分 为几个小区间,列表讨论 正负符号 在各小区间内的 4. 写出单调区间。 例1. 解: 定义域 讨论 的单调区间。 令 得 驻点 x =1, 0 ∴单减区间为(0,1]; 单增区间为 例2 解 的单调性. 讨论 定义域为 得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1. ∴ y 在 上单增; 在 上单减。 例3 二、函数单调性的应用 1. 证明不等式 证: 令 时, 即: 证明: 当x 0 时, f (x)单增, 1. 将待证不等式移项(或变形后移项), 2. 求 ,由导数的正负得 f ( x ) 的单调性 3. 由 f ( x ) 的单调性 使一边为零,另一边视作 f ( x ). 注: 证明函数不等式的一般方法 得出 f ( x )≥0(或 f ( x )≤0)。 例4. 证明 x 0 时, 证: 设 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 讨论方程的根的个数 (1)作辅助函数,求其单调区间; (2)在每个单调区间内确定是否有根 方法是: (用零点定理) 例5. 解:令 (1)作辅助函数,求其单调区间; (2)在每个单调区间内确定是否有根(用零点定理) 讨论方程 的实根的个数. 令 0 , 得 在(-1,1)内只有一个实根; 例5. 令 (1)作辅助函数,求其单调区间; (2)在每个单调区间内确定是否有根(用零点定理) 方程. (3) 解: (1)当-a 0时, 即 a 0 时, 方程无根. - a (1)作辅助函数,求其单调区间; (2)在每个单调区间内确定是否有根(用零点定理) (2)当-a =0时, 即 a =0 时, 方程有唯一实根 x=e. 思考题 讨论方程e ln x- x = a (a为任意常数) 的实根的个数. - a 方程e ln x- x = a (3)当-a 0时, 即 a 0 时, f (x)=0在(0,e)内 ∴由零点定理, 只有一个实根 f (x)=0在 ∴由零点定理, 只有一个实根 定义 . 设 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 f (x) 的图形是凹的; (2) 若恒有 则称 f (x) 连续曲线上有切线的凹凸 的图形是凸的 . 三、曲线的凹凸与拐点(P122) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分界点称为拐点 . 实例: 凸. 1 ? 凹; 1 ? 实例: 定理2. (凹凸判定法) 设函数 在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 注: 求曲线 y = f (x)凹凸区间的步骤 书P124 1. 写出 f ( x ) 的定义域; 2. 求 , 并求出 的点和 不存在的点 3. 用 点与 不存在的点作分点, 把定义域划分为小区间,列表讨论 在各小 区间内的正负符号。 4. 确定凹凸区间。 例6. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 定义域为 令 得 1. 写出函数 f ( x ) 的定义域; 2. 求 ,并求出 的点和 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 不存在的点 的分点, 把定义域划分为几个小区间,列表讨论 在各小区间内的正负符号. 4. 确定凹凸区间。 例6
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