..变化与导数.ppt

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 播放 暂停 停止 播放 暂停 停止 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ， 所以， t h O ) / ( 0 0 49 65 ) 0 ( ) 49 65 ( s m h h v = - - = 虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． ) / ( 0 s m 直线AB的斜率 A B T(月) W(kg) 6 3 12 3.5 6.5 8.6 11 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示, 试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第 12个月该婴儿体重的平均变化率. 婴儿出生后，体重的增加是先快后慢 实际意义 0 知识运用 例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 [ –3 , –1]上的平均变化率 ； (1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。 (1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 (2)解： △y=f (x+△x)- f (x) =2△x ·x+(△x )2 练习 1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A . 3 B . 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx D 3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. A 小结： 1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率： 姚明身高变化曲线图(部分) 2.26 2.12 ● ● ● ● ● ● 年龄 身高 4 7 10 13 16 ● 19 22 0.8 1.61 ● ● ● ● ● ● ● y x o y x o A B D C （1） （2） 陡 峭程 度 导数的 绝对值 （越大） （越小） （越小） （越大） 越陡峭，导数越大 越陡峭，导数越小