3.8 面束.ppt

§3.8 平 面 束 * 定义 3.8.1 空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，那么直线叫做平面束的轴. 交于一条直线L，那么以直线L为轴的有轴平面束的方程是： 其中l，m是不全为零的任意实数. （2） （1） 定理 3.8.1 如果两个平面 证 首先证明,当任取两个不全为零 l, m 的值时,(3.8-1)表示一个平面. 把(3.8-1)改写为 l 3.8-1 （3.8-1`） 这里的系数 不能全 为零，这是因为如果全为零，即 那么得 这和π1与π2是两相交平面的假设矛盾，因此(3.8-1`) 是一个关于x，y，z的一次方程,所以(3.8-1`) 或(3.8-1) 表示一个平面。 通过直线L的平面，也就是（3.8-1）总表示直线L为轴的平面束中的平面. 下面说明,平面π1 与π2的交线L满足方程 (3.8-1) 因为平面π1 与π2的交线L上点的坐标同时满足方程（1）与（2）， （2） （1） 从而必满足方程（3.8-1）. 所以（3.8-1）总代表 反过来，证明对于以直线L为轴的平面束中任意一个 平面π，我们都能确定l，m使平面π的方程为（3.8-1）的 形式。 为此只要在平面π上选取不属于轴L的任一点（x0，y0，z0），那么由(3.8-1)表示的平面要通过点（x0，y0，z0）的条件是 所以 l M0 而(x0，y0，z0)不在轴L上， （3.8-1）的形式 所以A1x0+B1y0+C1z0+D1, A2x0+B2y0+C2z0+D2不能全为零， 因此平面π的方程可写为 定理 3.8.2 如果两个平面 为平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2,那么方程(3.8-1), 即 定义 3.8.2 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束. 这个定理的证明类似于定理3.8-1，证明略 表示平行平面束， 平面束里任何一个平面都和平面π1 或π2平行， 其中l，m是不全为零的任意实数，且 －m:l≠A1:A2=B1:B2=C1:C2. 推论 : 由平面π：Ax+By+Cz+D＝0决定的平行平面束 的方程是： Ax+By+Cz+λ＝0 其中λ是任意实数. 例1 求通过直线 且与平面x+y+z-1＝0垂直 的平面方程。 即 由两平面垂直的条件A1A2+B1B2+C1C2=0,得 即 因此 所求平面方程为 解 设所求平面方程为： 即 例2 求与平面3x+y-z+4＝0平行且在Oz轴上截距等于-2的平面方程. 解 可设所求平面方程为： 3x+y-z+λ＝0， 因平面在z轴上截距为-2， 所以这平面通过点(0,0,-2), 由此得： 2+λ＝0， ∴ λ＝-2， 因此所求方程为： 3x+y-z-2＝0 例3 试证两直线 与 在同一平面上的充要条件是 (3.8-3) 证 因为通过l1的任意平面为 （3） 其中λ1，λ2是不全为零的任意实数；而通过l2的任 意平面为 （4） 同一平面, 其中λ3， λ4是不全为零的任意实数. 因此两直线l1与l2在同一平面上的充要条件是 存在不全为零的实数λ1，λ2与 λ3，λ4使（3）与（4）代表 也就是（3）与（4）的左端仅相差一个不为零 的数因子m，即 化简整理得 所以 *