函数的最与导数.ppt

1.3.3函数的最大（小）值与导数 * 二、函数的极值定义 设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点 复习 * 三、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 * 但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在指定的区间上哪个值最大，哪个值最小。这就是本小节要研究的最大（小）值。 那么， 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？ 新 课 引 入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。 * x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 观察区间[a.b]上函数y=f(x)的图像,你能找出它的极大值、极小值吗？ 观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。 * 探究 你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗？ x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3) * x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 结论 一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 所以，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。 * ※注意 1、给定函数的区间必须是闭区间。 f(x)在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值和最小值。 2、在闭区间上的每一点都必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值。 * “最值”与“极值”的区别和联系 （1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的 函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． （4）若连续函数在区间（a,b)内只有一个极值，则极大值就是最大值，极小值就是最小值。 * x 0 （0,2） 2 （2，3） 3 0 - + 4 1 极小值 -4/3 因此，函数f(x)在区间[0,3]内的最大值是4，最小值是-4/3 例题讲解 * (2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值. 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求函数f(x)在 (a,b)内的极值（极大值或极小值）； 总结 注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一 2.最大值一定比最小值大. * * * * * * * *