2.2逆矩阵与分块矩阵.ppt

已知 ，于是 ，即 矩阵分块法 前言 由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢? 这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传. 家具的拆卸与装配 问题一：什么是矩阵分块法？ 问题二：为什么提出矩阵分块法？ 问题一：什么是矩阵分块法？ 定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 这是2阶方阵吗？ 思考题 伴随矩阵是分块矩阵吗？ 答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵． 问题二：为什么提出矩阵分块法？ 答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法， 可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算， 体现了化整为零的思想. 分块矩阵的加法 若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即 则有 形式上看成是普通矩阵的加法！ 分块矩阵的数乘 若l 是数，且 则有 形式上看成是普通的数乘运算！ 分块矩阵的乘法 一般地，设 A为m×l 矩阵，B为l ×n矩阵 ，把 A、B 分块如下： 按行分块以及按列分块 m?n 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作 若将第 j 列记作 则 于是设 A 为 m?s 矩阵，B 为 s ?n 矩阵， 若把 A 按行分块，把 B 按列块，则 分块矩阵的转置 若 ，则 例如： 分块矩阵不仅形式上进行转置， 而且每一个子块也进行转置． 分块对角矩阵 定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 其余子块都为零矩阵， 对角线上的子块都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵． 例如： 分块对角矩阵的性质 | A | = | A1 | | A2 | … | As | 若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且 例:设 ，求 A－1 ． 解： 例：往证 Am?n = Om?n的充分必要条件是方阵ATA = On?n ． 证明：把 A 按列分块，有 于是 那么 即 A = O ． 克拉默法则 二元线性方程组 若令 (方程组的系数行列式) 则上述二元线性方程组的解可表示为 一、克拉默法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成 定理中包含着三个结论： 方程组有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式(2)给出. 这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论. 关于克拉默法则的等价命题 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 设 例 解线性方程组 解 线性方程组 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解. 齐次线性方程组的相关定理 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 备注 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零 练习题：问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解 如果齐次方程组有非零解，则必有 . 所以 时齐次方程组有非零解. 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？ 答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解. 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于 理