平面向量内积教案.doc

平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a|＝显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cosa,b＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(80分钟) 【教学过程】 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则 i + y j ， 即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即 W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500 （J） 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积． 如图7－23，设有两个非零向量a, b，作＝a, ＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作a,b． 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cosa,b 　　　　　　　 (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s. 由内积的定义可知 a·0＝0, 0·a＝0． 由内积的定义可以得到下面几个重要结果： 当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝时，a·b＝?|a||b|. cosa,b＝. 当b＝a时，有a,a＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝. 当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有 a·b＝0ab. 可以验证，向量的内积满足下面的运算律： a·b＝b·a． ()·b＝(a·b)＝a·(b)． (a＋b)·c＝a·c＋b·c． 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 a·(b·c)≠（a·b）·c. 请结合实例进行验证. *巩固知识 典型例题 例1 已知|a|＝3,|b|＝2, a,b＝,求a·b． 解 a·b＝|a||b| cosa,b ＝3×2×cos＝3． 例2 已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求a,b． 解 cosa,b＝＝＝?. 由于 0≤a,b≤， 所以 a,b＝．*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 平面向量内积的概念、几何意义? 结论： 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cosa, b (7.10) a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积． 知识 典型例题 例3 求下列向量的内积： a＝ (2,?3), b＝(1,3)； 运用知识 强化练习 1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为，求a·b． 2. 已知a·a＝9,求|a|． 3. 已知|a|＝2,|b|＝3, a,b＝，求(2a＋b)·b． 动脑思考 探索新知 设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以 a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1