平面基本质2.ppt

P11 例2 例3．已知a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B，求证：a，b，l三条直线共面． 变:已知a∥b ∥ c，l∩a＝A，l∩b＝B， l∩c＝C求证：a，b，c, l 四条直线共面． 练习： 1．判断下列命题是否正确． ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面. ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过一点的三条直线确定一个平面． ④平面和平面交于不共线的三点A，B，C. 2．下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题个数是___________ ． 3．直线l1∥l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确______个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据， 也是判定四点共面或三线共面的重要依据． 小结： 想一想: 两个平面能将空间分成几部分? 3 或 4 两个平面相交 ?? ? 1 3 4 2 1 3 2 两个平面平行 三个平面能将空间分成几部分? 1 3 2 4 4 6 7 8 平面的基本性质2 平面的基本性质： 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内. ? A? ? B 公理1的符号表示: 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它的公共点，这些公共点的集合是一条直线(两平面不重合). l ? ? l ? ? 平面的基本性质： 公理2的符号表示: ?P ?P 应用： ①判定两相交平面的相交（确定两平面交线位置）； ②判定点在直线上。 用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？ 这些手指需要满足什么条件？ 公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. α A C B 公理3 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. ?A B? ? C 平面的基本性质： 应用：①确定平面；②证明两个平面重合。 公理3的符号表示: 【想一想】 为什么用两个合页和一把锁就可以固 定一扇门，有的自行车旁只安装一只 撑脚呢？ 因为不共线的三点可以确定一个平面. 答： 【例1】已知： 在平面 外， 求证：P，Q，R三点共线. 证明： （公理2） 同理可证： 要证明空间多点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上. α A B C P R Q 【例2】p11 例3 例3．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面?与长方体表面的交线． D B B1 A A1 D1 C C1 P 　　因为点P既在平面?内又在平面AB1内， 所以点P在平面?与平面AB1的交线上． 同理点A1在平面?与平面AB1的交线上． 因此，PA1就是平面?与平面AB1的交线 　　同理，连结PC1，A1C1，它们都是 平面?与长方体表面交线的一部分． 与底面ABCD交线？ P D A C C1 A1 B1 D1 B 【例4】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明三条直线共面. A B C ∵ A、B、C三点不在一条直线上 证明： ∴过A、B、C三点可以确定平面 ∵ A∈ , B∈ ∴AB (公理1) 同理 BC , AC ∴AB、AC、BC共面 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 平面的基本性质的三种语言描述： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. B A 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 符号语言： 符号语言： 符号语言： 由公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么: 问题： ①一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ②两条相交直线呢？ ③两条平行直线呢？ 老式自行车后轮旁安装撑脚 和现代自行车区别？ 推论1.一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 a A B C 数学语言表示: ? 【例1】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明证明. A B C 证法2: ∵A 直线BC ∴过点A和直线BC确定平面 ∵ A∈ , B∈BC ∴ B∈ ,∴AB 同理 AC ∴AB、AC、