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§4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的性质 四、基本积分公式 五、不定积分的求法 * 前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。 例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻 的速度 ，要求物体的运动方程： 。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。 一、原函数与不定积分的概念  1.原函数： 设 是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数 ，使对于该区间任意 ，都有关系式： 或 成立，则称函数 为函数 在该区间上的一个原函数。 例 又因为： 所以显然 ， ， ， 都是 的一个原函数。 ★ 由此不难得出： （1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。 （2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。 （3）若 为 的一个原函数，则 表示 的所有原函数。 2. 不定积分的定义： 设 是 在区间I上的一个原函数，则函数 的全体原函数 （c为任意常数） 任意常数 积分符号 被积函数 被积表达式 积分变量 3.如何求不定积分 称为 在该区间I上的不定积分。 即： 例1 解： 例2 解： 求 求 因为 所以 是 的一个原函数，从而有 因为 所以 是 的一个原函数，从而有 例3 求 因为 结论 （3）不是每个函数在定义区间上都有原函数；在 定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。 （1）求函数 的 不定积分就是求 的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函数，再加上一个常数 C 即可。 （2）检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数。 设函数 在某区间上的一个原函数为 ，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而 的全部积分曲线 所组成的积分曲线族。其方程为 的图象显然可由这条曲线沿 或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是 轴向上 设函数 在某区间上的一个原函数为 ，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而 所组成的积分曲线族。其方程为 的图象显然可由这条曲线沿 或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是 轴向上 设函数 在某区间上的一个原函数为 ，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而 二、不定积分的几何意义 如下图所示： 例4 设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 三、不定积分的性质 定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即 定理2 定理3 积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。 四、基本积分公式 将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。 基本积分表 ? 是常数); 基本积分表 ? 1.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分） 解 根据幂函数的积分公式 例5 求下列函数的不定积分 （恒等变形法） 五、 不定积分的求法： (1) * * * * *