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* 第3章 恒星的轨道 引力作用下的运动：为星系称重 为什么银河系中无碰撞：二体弛豫 盘星的轨道：本轮 无碰撞Boltzmann方程 3.1 引力作用下的运动：为星系称重 牛顿引力定律告诉我们，一个质点M吸引同它距离r 的第二个质点m，使m的速度v 按 消去这个方程中的mα，这样加速度dvα/dt 就与该星的质量无关了：轻和重的物体下落得同样快。 改变，式中G为牛顿引力常数。 在质量为mα，位置在xα（α=1,2,…,N）的N个恒星组成的星团中，我们可以把所有其他恒星作用于恒星α的力加起来： 我们可以把星团作用于位置在x质量为m的一颗恒星上的力写为引力势Φ（x）的梯度： 这里我们已经选择了任意的积分常数使得在大距离处Φ（x）→0。如果我们设想在星系或星团中物质连续分布，x点的势将由所有其他点的密度ρ（x′）积分给出： 为了给一个星系或星团的密度ρ（x）选择一种近似表达，我们可以为势Φ（x）挑选一种数学上方便的形式，然后计算相应的密度。选择的势必须处处满足ρ（x）≥0；很多看起来挺不错的势后来发现在某些地方ρ（x）＜0。 一些常用的势： Plummer 球是对于星团和球形星系的一个简单而粗略的模型。它的引力势 一个简单盘模型的势为Kuzmin 盘的势：在圆柱极坐标R，z中 Navarro-Frenk-White(NFW)模型描述像图8.16那样的模拟中形成的冷暗物质晕。相应的密度和势为 对于球形星系或星团，牛顿证明了两个关于引力场的定理。 第一定理说，密度均匀的球壳内部引力为零。 第二定理说，在任何球对称物体外面，引力与仿佛其全部质量集中于球心相同。 质量为M，半径为a 质量为M，半径为r 这两个定理告诉我们，在密度为ρ（r）的任何球形物体内部，朝向中心的引力正好等于那个半径里面所有物质内向力之和。 一个在半径r的轨道上绕中心以速度V（r）运动的恒星，其加速度V2/r必须由内向的引力－Fr（r）。所以，如果M（ r）是半径r以内的质量，我们有 无论什么时候我们都能在一个星系内的近圆轨道上找到恒星或气体，迄今为止这是估计星系质量的最简单和最可靠的办法。 在星团中，引力势将随恒星的运动而改变：Φ＝Φ（x，t）。每颗恒星的能量不再守恒，只有整个星团的能量守恒。为了证明这一点，我们取3.2式同vα的标量积，再对所有恒星求和。左边给出总动能KE的导数： 但我们可以从恒星β受力的方程开始，并取同vβ的标量积来求 把上面两个方程的右边相加得 星团的势能PE是各对恒星贡献之和： 将(1),(2)两式相加 于是星团的总能量E＝KE＋PE是常数。 一个孤立星团内的恒星可以改变它们的动能和势能，只要能量的总和保持不变。当它们向远处运动时，其势能增加，速度必须下降以使动能得以减小。如果恒星运动得如此之远使得其速度降为零，然后就停在那里，系统依然能满足这个方程，但星系团不能保持在这种状态。 现在加上一个外力Fext；这可以代表（比如说）星系对其内部一个星团的引力拉拽。 位力定理： 位力定理是我们求其中轨道远离圆形的星团和星系质量的工具。 表3.1 银河系中球状星团和疏散星团的动力学量。 大多数球状星团的质量范围从104M⊙到106M⊙； 典型的质光比1≤M/L≤4。 3.2 为什么银河系中无碰撞：二体弛豫 图3.3显示了我们如何能够将银河系的引力势看成两个成分之和：一个平滑成分是对含有许多恒星的区域平均，其余则是每个恒星周围的极深的势阱。个别恒星彼此之间的接连拉拽（由势的剧烈变化部分描述），使它们在只存在力的平滑部分时应走的路线发生偏离：我们可以把这些剧烈的拉拽看作是恒星之间的“碰撞”。 遥远恒星微小拉拽的积累效应，与恒星在彼此非常近地交会时产生的强大力量相比，在改变恒星运动进程方面更为重要。 3.2.1 强近交会 假设恒星全都有质量m，并且在随机方向上以平均速度V运动。我们暂时忽略来自星系或星团其余部分的引力。这样，如果两颗星趋近到距离r以内，它们的动能之和就会减少以平衡势能的改变。当分离很远时，它们的相互势能为零。如果它们靠得最近时，势能的改变至少像其初始动能那么大，我们就说它们有一次强交会。这要求 我们称rs强交会半径。 如果每单位体积内有n颗星，我们太阳在时间ts内将有一次近交会，使得 nπrs2Vt＝1，所以强交会的平均时间是 3.2.2 弱远交会 对时间积分我们发现，交会以后很久，M的垂直速度是 M飞过m越快，速度改变就越小。在时间t＜0将它向前拉的力与t＞0时将它向后拉的力严格平衡。所以M的轨道弯了一个角度 图3.5 弱交会：恒星M以速度V在静止的恒星m旁经过，瞄准距离为b。 通常取bmin=rs，bmax等于整个恒星系统的大小 即恒星垂直于其原轨迹的预期速度大约等于其原来的向前速度； 3.2.3 二体弛豫的效应