数值分析试验指导书.doc

数值分析与计算软件 实验教案 2012-2013年第二学期 数学与应用数学（保险113班） 余晓美 目 录 实验基本要求 1 实验一 插值法 2 实验二 数值积分 5 实验三 常微分方程初值问题数值解法 8 实验四 非线性方程的数值解法 10 实验五 解线性方程组的迭代法 14 实验六 线性方程组的直接解法 17 附录 MATLAB入门 21 实验基本要求 1、用Matlab语言或其他算法语言编制程序，使之尽量具有通用性。 2、上机前充分准备，复习有关算法，写出计算步骤，反复检查程序。 3、完成实验后写出实验报告，《数值分析》实验报告应包括下列要求： (1)、实验原理； (2)、实验内容和要求； (3)、数值算法描述，包括数据输入、数据处理和数据输出； (4)、给出具体的计算实例； (5)、经调试正确的源程序清单； (6)、具体的数值例子给出数值结果； (7)、计算结果的误差分析，算法的收敛性与稳定性的讨论； (8)、实验小结。 实验一 插值法 一、问题提出 实际问题的某种内在规律的数量关系一般用函数表示。有两种情况，使得该函数在使用上不方便。 情况1：虽然在某个区间[a,b]上存在，但却只能给出[a,b]上一系列点的函数值(),是一张函数表。这里很自然地提出一个问题，能否根据这些离散的函数表，给出该函数的一个近似的解析表达式。 情况2：虽然已知的解析表达式，但该解析表达式计算复杂，使用不方便。 这里很自然地提出一个问题，能否只根据该函数的某些具体点处的函数值，用一个简单函数来近似地代替这个复杂函数。 问题可以更明确化一些。即希望根据给定的函数表构造出一个既能反映函数的特征，又便于计算的简单函数，用近似。通常选多项式作为。 二、实验目的 1、理解插值的基本概念，掌握各种插值方法，注意其不同特点； 2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点； 3、熟悉拉格朗日插值法的程序编制； 4、绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。 5、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决实际问题。 三、Lagrange插值法的实验理论与算法流程 在实际应用中，一般采用基函数法来构造。将n次拉格朗日插值多项式用来记。 ，其中是待定的n次多项式。 要满足插值条件 ，自然地求 是的零点，于是 n次的，这里的为待定常数。 ，可得 (1)、在计算机上构造拉格朗日插值多项式，采用以下式子进行编程 计算的程序框图 四、实验任务 已知函数表 0.56160 0.56280 0.56401 0.56521 0.82741 0.82659 0.82577 0.82495 用二次拉格朗日插值多项式求时的函数近似值。 2、对函数,取等距节点，利用拉格朗日插值公式作出在[-5，5]上的图象，并与被插函数的图象进行比较，试构造分段低次插值和三次样条插值函数逼近，比较不同方法的结果。 五、思考题 Lagrange 插值多项式与Newton差商插值多项式有何异同点？ 多项式插值是如何构造的？截断误差如何表示？如何估计？ 在插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式是否越来越接近被插函数？ 实验二 数值积分 一、问题提出 在实际问题中我们常常需要计算定积分。但在很多情况下，并不能利用牛顿-莱布尼兹公式方便地计算函数的定积分，因此，有必要研究定积分的数值计算问题。牛顿-科特斯公式是在等距节点情形下的插值型求积公式，其简单情形如梯形公式、辛普森公式等。复化求积公式是改善求积公式精度的一种行之有效的方法，特别是复化梯形公式、复化辛普森公式，使用方便，在实际计算中常常使用。龙贝格求积公式是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所得的近似值进行多级“修正”，而获得的准确程度较高的求积分近似值的一种方法。 二、实验目的 1、理解复合辛普森算法、龙贝格算法的基本思想 ； 2、编程实现上述数值积分算法； 3、比较算法的精度差异，并体会改进算法提高精度的过程 ； 三、实验理论与算法流程 1、复合辛普森求积公式 将[a,b]区间n等分，在每个小区间上再取一个中点，，运用辛普森公式，则有 称为复化辛普森求积公式。其余项为可作如下估计： 的余项为 Input:区间端点a,b,偶数n Step1:h=(b-a)/n; Step2:XI0=f(a)+f(b); XI1=0;XI2=0; Step3:for i=1:n-1 Step4:X=a+i*h; Step5:if i是偶数 XI2＝XI2＋f(X); Else XI1=XI1+f(X); End End Step6: