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习题 2.4解答
习解下列方程：，所以原方程为全微分方程，
由 ，
得: ，
故原方程的通解为：
.
（2），
即 ，
原方程的通解为：
.
（3），
即 ，
原方程的通解为：
.
（4），
即 ，
原方程的通解为：
.
2．求下列方程的积分因子和积分：（1） ，，
所以为积分因子，两边乘以得：
，
所以 ，
故原方程的通解为：
.
（2）
解：因为 ，，
所以为积分因子，两边乘以得：
，
所以:
，
,
故原方程的通解为：
.
（3） ，，
所以为积分因子，两边乘以得：
，
所以 ，
故原方程的通解为：
.
（4）
解：因为 ，，
所以为积分因子，两边乘以得：
，
所以:
，
故原方程的通解为：
.
（5）
解：原方程可化为：
因为 ，，
所以为积分因子，两边乘以得：
，
所以:
，
,
故原方程的通解为：
.
（6）
解：原方程可化为：
因为，，
所以为积分因子，两边乘以得：
，
取有:
，
,
故原方程的通解为：
.
（7）
解：原方程可化为：
因为 ，，
所以为积分因子，两边乘以得：
，
从而有:
，
故原方程的通解为：
.
（8）
解：原方程可化为：
因为 ，，
所以为积分因子，两边乘以得：
，
取有:
，
,
故原方程的通解为：
.
3. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.
证明：先证必要性，设方程为线性方程，即
，
所以 ，
，
即它有仅依赖与x的积分因子，且 是其积分因子。
再证充分性，因为在方程，中
所以 ，
如果它有仅依赖与的积分因子，则是的函数，设
关于积分得：，是的可微函数，故方程可表为：
是线性方程.
答案????1．（2）（3）???????（4）2．（1）?（2）?，??；
???（3）；（4）；
(5) ,; (6) ,;
(7) ,;
(8) ,
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