与平面向量有关的易错问题剖析.doc

与平面向量有关的易错问题剖析 光泽一中 芮科明 平面向量连同它的运算法则、性质，都来源于实践，应用于实践，属于教材新增添的内容。该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。“欲善工其事，必先利其器”，对于本章内容的学习，我们一定要抓住定义，理清概念，只有真正理解了向量中的概念和法则，才能熟练地应用。否则在做题时就容易出错，下面对平面向量在应用中容易出现的几种错误进行剖析： 一、对向量减法的几何意义不清楚而导致错解 例1、如图 ABCD是一个梯形,AB∥CD且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若 = , =,试用, 表示 和 . 错解：连结CN,N是AB的中点， ∵AN=DC且AN∥DC， ∴四边形ANCD是平行四边形， =-= 又∵++=, ∴=-=-, ∴=-==。 剖析：根据向量减法的三角形法则，两个向量相减，所得向量是减向量的终点指向被减向量的终点所得的向量，被减向量与减向量的位置很容易弄颠倒。 正解：最后一步中，=-==-。 二、对向量夹角概念的不理解导致错误 例2、在边长都为1的△ABC中，已知，，求的值。 错解：∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴与，与，与的夹角都是， ∴=== 剖析：夹角的定义为：在平面内任取一点O，作向量，=，则∠AOB=（≤≤），则叫与的夹角。通过定义可以看出，在夹角的定义中，要求和必须是共起点的，这是定义中的一个关键，按照这个定义，和的夹角是吗？显然和的夹角是，同理，与，与的夹角也都是。所以 === 三、对两向量夹角余弦的取值范围不熟悉导致错误 例3、已知，=3，和的夹角为，求当向量与的夹角为锐角时，的取值范围。 错解：设向量与的夹角为， ∵ 两向量的夹角为锐角， ∴ ＞0，∴ （）（）＞0， 即＞0，∴＞0， ∴＞ 或 ＜，即 剖析：由于≤，所以-1≤≤1。当＞0时，0＜≤1，包括=1的情况，即夹角有可能为，此时不为锐角，所以我们应该从上述的的取值范围中再去掉与共线同向时的的值就可以了。 当与共线同向时，设=t()，(t＞0) ∴，∴ ∴ 与的夹角为锐角时的 四、把实数中的结论想当然地套用到向量中来导致错误 例4、已知，是两个非零向量，证明当与（）垂直时，的模取到最小值。 错解：当 与垂直时有·（）=0，即+=0，∴， = === = ==0， ∵的最小值为0， ∴当，即与垂直时，的模取到最小值。 剖析：结论并不正确，只有在和共线时才成立，所以不能用这个结论。在向量这一章中，不能把许多实数的结论想当然拿过来用，实数中的好多结论在向量中是不成立的。如： (1)若，则或； ⑵若，且，则； ⑶若，则； ⑷； ⑸； ⑹若，则 等都是错误的。在应用课本上没有的结论时，我们必须慎重，必须给出严格的证明后才可以应用。本题的正确解法应把看做是的二次函数： == ∴在对称轴，即时，模取最小值。此时，恰好即当与垂直时，的模取最小值。 总之，向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系等，可见它的重要性与灵活性。通过上面的几个例子可以看到，解与向量有关的问题时，很容易出错，且出现的错误较隐蔽，这一点在教学中应特别引起注意。 第 1 页 共 3 页