第8讲 松过程的推广.ppt

随机数学 第8讲 泊松过程的推广 教师: 陈 萍 prob123@mail.njust.edu.cn 2.2.2 到达时刻的条件分布 2.3 Poission过程的推广 更新过程的基本结论： 过程的统计特性可由序列 的共同分布完全刻画； N(t)是关于t的单调递增阶梯函数，对于固定的t，N(t)为取非负整数值的随机变量； 的分布函数为 * * 本节讨论在给定N(t)=n 的条件下， 的条件分布及其有关性质。 这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在已知[0,t] 上有1个事件发生的条件下,事件发生的时间τ1应该服从[0，t]上的均匀分布。对此我们自然要问： (1)这个性质是否可推广到的 情形？ (2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是否成立？ 定理2.2.4 设 是泊松过程，则对 有 为回答(1),需要如下关于顺序统计量的性质: 若{Ui, 1?i?n}在[0,t]上独立同均匀分布, 则其顺序统计量 的联合密度函数为 定理2.2.5 设{N(t), t≥0}为参数(或强度)λ的泊松过程，若在[0,t)内有n个事件相继到达，则n个到达时刻 的联合分布和n个[0,t)上独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量 的联合分布相同. 设一系统在[0,t]内承受的冲击数{N(t),t?0}是参数为λ的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di. 设{Di, i?1}独立同分布, 且与{N(t),t?0}独立, 且损失随时间按负指数衰减, 即t=0时损失为D, 在t时损失为 , 设损失是可加的,那么到系统在[0,t]内受到冲击的损失之和为 其中τi为第i次冲击到达的时刻, 求 用定理2.2.5 解例2.2.2 则{N(t), t≥0}为泊松过程. ……证略. 定理2.2.6 设{N(t), t≥0}为计数过程，Tn为第n个事件与第n-1个事件的时间间隔， 独立同分布且分布函数为F(x),若F(0)=0，且对 ,都有 对问题(2),即逆命题,有如下定理: 定理2.2.7 设{N(t), t≥0}为跃度为1的计数过程，满足，?t0,N(t)?P(λt),且在N(t)=n条件下， 的条件概率密度是 则{N(t), t≥0}为泊松过程. ……证略 思考: 如何利用以上定理 对泊松过程进行计算机模拟和检验? (3) 若 , 则 定理2.3.1 (1){X(t), t?0}是平稳独立增量过程; (2)其特征函数为 定义2.3.1 设{N(t),t?0}为强度为λ Poission过程, {Yi, i?1} 是独立同分布的随机变量序列, 且 {Yi, i?1}与{N(t), t?0} 独立, 记 称{X(t), t?0}为复合Poission过程(compound poisson processes). 例2.3.1 设保险公司在[0,t]时段内接到的索赔次数N(t)形成强度为λ的Poisson流, 且设保险公司第i次赔偿额是Yi, {Yi, i=1,2,…} 独立同正态分布 , 则每月要付出的赔偿额服从什么分布？一年中它要付出的平均金额是多少? 解：[0，t]内赔偿额 形成复合Poission过程，每月要付出的赔偿额特征函数为 一年中它要付出的平均金额是 条件Poisson过程 定义2.3.2 设Λ是一个正的随机变量, 分布函数为G(x),x?0, 设{N(t),t?0} 是一计数过程, 且当给定Λ=λ时, {N(t),t?0}是一Poisson过程, 即 , 有 称{N(t),t?0} 是条件Poisson过程. 定理2.3.2 设{N(t), t?0}是条件Poisson过程,且 则 (2) E[N(t)]=tEΛ (3) 例2.3.2 设意外事故的发生频率受某种未知因素影响,有两种可能λ1, λ2, 且 0p1为已知. 且当给定Λ=λi时, [0,t]时段内事故次数N(t)形成一强度为λi Poisson流. 已知到时刻t为止已发生了n 次事故,求[t,t+s]时段内无事故的概率. 解：在Λ=λi的条件下，N(t)是强度为λi 的Poisson流. P{[t,t+s]时段内无事故|N(t)=n