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随机数学 第9讲 更新过程 教师: 陈 萍 prob123@mail.njust.edu.cn 更新过程的基本结论： 过程的统计特性可由序列 的共同分布完全刻画； N(t)是关于t的单调递增阶梯函数，对于固定的t，N(t)为取非负整数值的随机变量； 的分布函数为 2.4.2 更新函数 2.4.3 更新过程的极限性质 * * 则称 {N(t),t?0} 为更新过程。 2.4.1 更新过程的定义 显然,更新过程是一个计数过程.在更新过程中,我们将事件发生一次叫作一次更新, 从而定义中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的时间,τn是第n次更新发生的时刻. N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数. 定义2.4.1 设 为独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为F(x) , 且F(0)1。令τ0=0 ， 记 ,即在有限时间内不可能进行无穷次更新. N(t)的概率分布为 例2.4.1 设更新过程 的更新间距 服从参数为m,λ 的Gamma分布，即 的概率密度函数为 求 解 备查：1） 的特征函数为 分布函数为： 令 , 称为过程{N(t),t?0}的更新函数。 定理2.4.1 对 , 若F(t)1, 则有 定理2.4.2 更新过程 {N(t),t?0}可由其更新函数M(t) 唯一确定. ……证 …证 引理 更新函数 是自变量 的单调递增，有界且右连续函数. …证略 例2.4.2 设更新过程 {N(t),t?0}具有更新函数 ,求更新间距T的分布. 解: 设T的概率密度为f(t), 则 故更新间距T服从指数分布, {N(t),t?0}为Poison过程. --[4] 拉氏变换简表 定理2.4.3 推论 定理2.4.4 设{N(t),t?0}为更新过程，{Tn,n?1}共同的分布函数为F(x) ， Tn的期望为μ，方差为?2 ，则 ?y?R， 证明参见”S.M.Ross，随机过程，中国统计出版社”,定理3.3.5. 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号的新电池. 如果电池的寿命为均匀分布在30小时到60小时内的随机变量，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率为多少？ 解 设N(t)表示在t 时间内失效的电池数, 则由推论,在长时间工作情况下，电池的更新速率为 而 故电池的更新速率为1/45. (2.4.1) 2.4.4 更新方程 定义2.4.2 设已知函数a(t)及分布函数F(t), 若未知函数A(t),满足如下积分方程: 则称(2.4.1)式为更新方程. 定理2.4.5 , 更新函数M(t)满足下列更新方程 (2.4.2) 定理2.4.6 若未知函数A(t)满足更新方程(2.4.1)，则其解为 例2.4.3 设{N(t),t?0}为更新过程, 其更新间距T的分布函数为F(t), 记 表示t时刻的剩余寿命，对任意固定z0 ，令 , 求证 满足更新方程: 设 试用定理2.4.6解出 . 答案: 定理2.4.7 （关键更新定理）设F(x) 是均值为? 的非负随机变量的分布函数, F(0)1，a(t) 是Riemann直接可积的, 则更新方程 (1)若F是非格点的，则 (2)若F 是周期为d的格点的, ? c0 ，有 的解A(t)满足: 例2.4.3(续) 剩余寿命的极限分布 记 表示t时刻的剩余寿命，对任意固定z0 ，令 , 求 提示：设X是非负随机变量，分布函数为F(x), 如果期望E(X)存在，则 更新过程的推广(1)更新报酬过程 定义2.4.6 设更新过程{N(t),t?0} 的时间间隔为随机变量序列 {Xn, n?1}. 其分布为F ，Rn