二项定理应用.doc

一箭中的二项式定理的应用 一箭中的 一. 二项式定理的主要内容 1. 公式： 通项：二项式展开式中第r+1项为 : （r=0,1, ,n) 2. 两个特别容易混淆的概念： （1）二项式系数： ( i=0,1, ,n)叫做二项式系数. （2）展开式中项的系数：展开式中某一项的系数。 3. 递推二项式定理的过程，即某一项的形成过程. 例如：的形成过程：从n个括号中取r个括号中的b，另外n-r个括号中取a，故得. 二. 主要应用（除常规的展开外） 1. 递推过程的应用： 例1.在(x+y+z)9中，求展开式中x4y3z2的系数. 解：由x4y3z2的形成过程可知，在9个括号中取4个括号中的x，剩下5个括号中取3个括号取y，再剩下的两个括号中取z，故得x4y3z2系数为 =1260. 例2.在(1+x)(2+x)(3+x)(19+x)(20+x)的展开式中,求x18的系数. 解：在20个括号中取出18个括号取x，另外剩下两个括号取常数，由于各个常数不相等，故不能简单地用“组合数”计算，而应按实际数值计算。即在1，2，，20中任取两个数求积（所取两数不能重复组合），再求出这些积的和. 如以“1”为准时，其积的和为： 12+13+14+15119+120=209； 以“2”为准时，其积的和为： 23+24+25219+220=414； …… 以此类推，最后为1920=380，故x18的系数为这些和的和，即20615. 例3.求(1+2x)(1+22x)(1+23x)…(1+2nx)展开式中x项的系数与x2项的系数。 x项的系数是 与x2项的系数是 2. 求特定的项或特定项的系数： 例1.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5展开式中x2项的系数. 解：（方法一）可逐项分析：(x-1)中没有x2项，-(x-1)2中x2项的系数为，(x-1)3中x2项的系数为，-(x-1)4中x2项的系数为，(x-1)5中x2项的系数为，于是，展开式中x2项的系数为： =-20. （方法二）原式可以看成是一个首项为(x-1)，公比为（1-x)的等比数列之和， 于是，原式== ∴展开式中x2的系数即为(x-1)6的展开式中x3的系数， ∴系数为=-20. 例2.求(1+x)6(1-x)4的展开式中x3的系数. 解：由乘法法则可知，展开式中x3的项分别由(1+x)6中的项x0, x, x2, x3与(1-x)4中的x3, x2，x, x0项对应相乘合并而成， 故得展开式中x3的系数为 = -8. 例3.求（1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数. 解：同上例，可知展开式中x5的项是由(1+x)10中的x5项, x2项分别与1-x3相乘合并而成，故得x5的系数为=207. 例4.已知中x3的系数是，求a的值. 解： 令 得r = 8 故 ∴ ∴a=4 3. 有关整除或求余数： 例1.求2100除以9的余数. 解: = =+94950-300+1 ∵能被9整除， 故余数由94950-300+1确定，而94950-300+1=44251=49169+7 故余数为7 例2.设n∈N n≠1求证33n-26n-1能被676整除 证明: 33n-26n-1=27 n-26n-1=(26+1)n -26n –1 =-26n-1 ==676 而为整数 故33 n-26n-1能被676整除. 4. 求有理项或求最大项系数； 例1.求展开式中项系数最大的项及展开式中的有理项. 解： = （1）设第r+1项系数最大，则 ≥ ≥ 解第一个不等式得r≥ 解第二个不等式得r≤ 因为r为正整数，故r=3. ∴项系数最大的项是第4项，这一项为：. （2）要使展开式为有理项，须为整数 ∵0≤r≤10 故r=0或r=6 即第一项和第七项为有理项，它们分别是：T1=x5, T7=x4. 例2.当（1+x+Px2)4的展开式中x4的系数取到最小值时，求P的值. 解：（1+x+Px2）4=[1+(x+Px2)4 令r+k=4 ∵0≤r≤4, 0≤k≤r 则r, k的值可能是(4,0), (3,1), (2,2) 故展开式中的系数为=1+12P+6P2 当x4的系数取到最小值时P= -1（此时最小值是-5） 5. 证明有关组合数的等式： 例1.求证： 证明：（方法一） ∵k = (k=1, ,n) 故 左边=n=n=右边 （方法二） 右边=n= =n1+n (n-1)+nn ==左边 （方法三） 令 ① 则 ② 两式相加①+②得 2+n = 故 n 例2.求证23 n∈N, n≥2 证明：=