信息光学简介 2.doc

第二章 信息光学的数学基础 ◆引言 在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。 2.1傅里叶变换 ◆傅里叶级数 首先．让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式， 这里，称为原函数，称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量的幅值． ◆频谱的概念 频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。因此，傅立叶分析也称频谱分析。频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振幅型频谱。 为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。对于光栅我们可以用透过率函数来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大. ? 是周期性函数 则： 上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为 这里称为空间频率. 是的基频.。周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f=0处有直流分量. 透过率函数也可用复数傅里叶级数表示: 再回到光栅装置.由光栅方程, 在近轴条件下 因此透镜后焦面上频率为 当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的. 故傅立叶变换能达到分频的目的。 ◆傅里叶变换 在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象．从数学眼光看，非周期函数可看作周期的函数．据此，可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式．结果如下， 上式(*******)称为傅里叶变换，下式******)称为博里叶逆变换．对于二维情形，傅里叶变换和逆变换的积分式为 简单地表示为 从光学眼光看代表一波前函数，线性相因子代表—平面波成分，()代表一空间频率，对应一特定方向的平面波．于是，积分式(******)表明，任一波前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加．对于非周期函数，空间频率()的取值不是离散的，而是连续的，存在于()．因此，在()一()频率间隔中，平面波成分的振幅系数dA表示为 这给出了谱函数G()的光学意义一一频率空间中单位频率间隔的振幅系数，即振幅的谱密度函数，简称频谱。原函数及其频谱G()，既可以是实数，也可以是复数。 2.2信息光学中常用的若干典型函数的频谱 (1)方垒函数． 如图*******(a)，(b)所示从变换光学眼光看，方垒函数相当平行光正入射于单缝时的被前函数。其夫琅禾费衍射场正是（******)式给出的sinc函数形式． (2)相幅型方垒函数． 如图******(a)，(b)所示．从变换光学眼光看，这相幅型方垒函数，相当于平行光斜入射于单缝时的波前函数，或相当于平行光正入射于薄棱镜时的波前函数，其夫琅禾费衍射场的o级班中心移至轴外，两侧依然呈现函数形式，如(******)式所示． (3)准单频函数． 如图****所示．准单频函数可以被看作两个相幅型方垒函数之和，从而造成两支频谱，其频谱中心分别在处．如果，准单频函数代表纯空目信息而与时间变量无关，或代表纯时间信息而与空间变量无关，则这正负两支频谱无独立的物理意义，应将它俩合起来看作—支频谱——谱值加倍，而频率区间缩半于(o，)．如果，这准单频函数代表定态波场的复振幅分布，则正负频谱成分有独立含义，各自乘以同一时间因子，就分别代表两个相反方向传播的行波，而复振幅分布就表示那两列行波叠加的驻波场． (4)正向准单频函数． 其中 如图*****所示，展现有二支频谱，均系函数线型，其中心频率分别为．从变换光学眼光看，这相当于平行光正入射于一余弦光栅时的波前函数，其夫琅禾费衍射场有三个离散的亮斑，在亮斑邻近区域有光强的少许扩展，这特点由(******)式所反映． (5)三角形函数． 如图******所示，其频谱恒为正值．含有明显的高频成分，方能合成带有尖顶的角形原函数． (6)半椭圆形函数． 这里是一阶贝塞耳目数，如图******所示． (7)高斯函数． 如图****所示．在函数大家庭中，唯有高斯雨数，其频谱依然是高斯型的，它是一个经傅里叶变换后线型不变的独特函数．凭借这一性质，高斯型光束成为激光器谐振腔中能稳定存在的一种模式．高斯函数也是光源的一种基本的光谱线型，因为由温度引起的谱线的多普勒展宽是高斯型的．导出频谱公式(*****]过程中用到一个高斯积分， (8)洛伦兹函数 如图******所示，一钟型原函数其频谱变成一尖顶帐篷型。 (9)二维轴对称函数(圆域函数)． 在空域(x,y)平面