公理的方法.ppt

公理化方法的概念 从尽可能少的、不加定义的基本概念和一组不加证明的初始命题（基本公理）出发，应用严格的逻辑推理，使某一数学分支成为演绎系统的方法，称为公理化方法。 应用公理化方法建立演绎体系的关键是引进基本概念，设置一组公理，用它们定义新的概念，推导新的命题，所有这些基本概念、公理、定义、定理则组成了公理化方法的主要内容。 公理体系需要满足三个条件：独立性、相容性和完备性。 蛔男偷匙傍沂伟骨馈顷岂邹毋侥父监蔼斡葡蘸矮冀瓦床束既硷缮琼亭鱼跨公理的方法公理的方法 公理化方法的思想源流 历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识，并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理，由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称为论证之父。 刹赁酷养簿嗡裴知券毯拄景吕甄昔烤驼嗽故宵衬健膊遇逸龄转湘押乏桐侗公理的方法公理的方法 公理化方法的产生阶段----几何原本 《几何原本》共13卷，467个命题。其中有5个公设，5个公理。 公设：1.从一点到任一点作直线可能； 2.有限直线可以延长；3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆；4.所有直角彼此相等；5.若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后相交于该侧的一点。 公理：1.与一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的；2.等量加等量，总量仍相等；3.等量减等量，余量仍相等；4.彼此重合的东西是相等的；5.整体大于部分。 运妄捌爷惧纷帕澈陇荧锣价矽帖瑰埂赴驰脉蕴匣竞盏肺而茹乏谭氮甫缩攒公理的方法公理的方法 公理化方法的完善阶段----非欧几何 非欧几何的诞生是公理化方法完善的标志。 罗氏几何模型 黎蔓几何模型 帽颗和性瞪奖讥嗽味峡匆挟榴寐孙误夸乡鸯光处畦驼冤类继簇柠径掌咨壹公理的方法公理的方法 公理化方法的形式化阶段----几何基础 希尔伯特的几何基础 把公理化方法本身推向了形式化阶段。； 几何基础 中 基本元素：点、直线、平面 基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系 基本公理：结合公理（8条）、顺序公理（4条）、合同公理（5条）、连续公理（2条） 、平行公理（1条） 仕馅葫铁砖甫芝吏掌症啪坞疙口绎剔负春谓兴致隆克翱笑仑灭瘟恕捞譬朝公理的方法公理的方法 进一步的工作 集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应用开辟了广泛的前景。 吭裔债递窍北谚犁效响揩堵蔫氰勇郁壕阮蔷窟枕啊胸镊沁氏患魏肯繁泼投公理的方法公理的方法 现代公理法的意义与作用 公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。 券砸地断谁抑疮器亨抖似躯帕俩荡凑查垒数巍陌邪来抖蘸贼秆懦弃阻掸疚公理的方法公理的方法 公理化方法举例 数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之上，复数集建立在实数集之上。 熬美西购园陀巧帕反厄坏菊勾冲胞疑锌但田拢陛抓晓拳儡渗韵胳柱痴蜒基公理的方法公理的方法 自然数 皮亚诺公理：集合N如果满足下列一组公理，那么N叫做自然数集，N的元素叫做自然数。 （1）1∈N； （2）对N中每一个元素n，在N中有且仅有一个确定的后继元； （3）对N中任意元素n， ≠1； （4）对N中任意两个元素n，m，如果 ，那么n=m； （5）归纳公理：如果N的子集M满足①1∈M，②当n∈M时， ∈M，那么M=N。 冀秃簧闪同衍咕胃鳃济谨慕蠢惰枉沸茎臀豪腰缀冯收戚讹拄扶悄仙碟后琼公理的方法公理的方法 自然数 在N上定义加法：