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第三节 “相容性、独立性和完全性”的观点;游 戏;一、相容性、独立性和完全性;1.相容性：不允许从公理系统推出矛盾 2.独立性：每一个公理不可由其它公理 推出 3.完全性：该形式系统中所有命题都能 判定真伪; 【含有“不可判定命题”的系统是不完全的。 所谓不可判定命题，是指该命题和其反命题都不能由该系统中的公理推导出来。 （A与非A都能导出叫“不相容”，A与非A都不能导出叫“不完全”）】;二、哥德尔的不完全性定理; 数学证明是依靠逻辑推理导出结论，定理一经证明就永远是对的，除非发现证明本身有误。 而其它学科的证明，往往是在某些依据下提出一种假说，当观察和实验与该假说相符，就成为假说成立的证据。如果该假说不仅能描述已知的现象，而且能预见未知的事实，就成为假设成立的更强的证据。证据积累到一定的数量，假设就改称为理论而被人们接受。 观察和实验是可能出错的，或者可能是不精确的，从而只能提供近似的证据，导出相对正确的理论。所以其它学科的理论，可能在后来会被证明是错的，从而导致科学上的革命，以至用新理论去代替旧理论。数学证明却与此不同，数学证明不是依赖于观察和实验，而是依赖于逻辑，所以，数学证明具有“绝对的意义”。; 这些，是我们过去的认识。但是，形式的、公理化的、逻辑的推理方法确实是无懈可击吗？数学真理一定是绝对真理吗？ 1931年，年仅25岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔（Kurt .Godel 1906年－1978年）在《数学物理期刊》上发表了一篇题为“论《数学原理》和有关系统中的形式不可判定命题”的论文。他当时在维也纳大学。论文刚发表时并未受到重视，但仅过了几年，就被数学界认为是数学和逻辑的基础方面的划时代文献。哥德尔的论文提出了公理化方法的局限性，这是人们始料不及的。哥德尔证明了两个重要的定理，即哥德尔第一定理和哥德尔第二定理。;阎涪孔硫毕晤烂萎厢清揣注应酞阻掏伙假搁早乞淆匣蓉枉不娘娱谴悼伊叶公理问题公理问题; ２.哥德尔第一定理：对于包含自然数 系的任何相容的形式体系Ｓ，Ｓ中都有不 可判定命题，从而该体系是“不完全”的。 （这里，“包含自然数系”不是特别的要求，一般的形式体系都包含自然数系。）; 哥德尔第一定理表明，相容的体系一定是不完全的，这太令人吃惊了！ 例如哥德巴赫猜想，至今未被证明，也未被推翻，它是不可判定的命题吗？那样我们就永远也不能证明它了！; ３. 哥德尔第二定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系Ｓ，“Ｓ的相容性”是不可判定的。 只有有穷个命题的体系，“体系的相容性”原则上是可以判定的；但包含自然数系的形式体系中总有无穷个命题，而哥德尔又证明了：对于包含自然数系的任何相容的形式体系Ｓ，“Ｓ的相容性”是不可判定的。 这就是说，公理化体系对逻辑的三条最基本的要求——相容性、独立性、完全性，是无法同时满足的。 公理化体系大厦的基础崩塌了！; ４.问题的核心仍是“自我指谓” 在讲集合论的“罗素悖论”时，我们提到过“含有自身的集合”这样的词句，说明过该悖论的要害是“自我指谓”，即命题中又说到命题本身。 还有“说谎者悖论”的要害也是“自我指谓” （说谎者说：“我这句话是谎话”，则，说“这句话是实话”将导致这句话是谎话，说“这句话是谎话”又将导致这句话是实话，左右为难）（命题中有“这句话”一词）。; 哥德尔第一定理说，相容的体系中存在不可判定的命题。这就是，如果只从体系内去判断体系里的命题，这就是“自我指谓”。古诗说“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，也是这个道理。 哥德尔第二定理说，公理体系的相容性不能在体系中被证明。这就是，如果只想从体系中去证明体系本身的相容性，这就是“自我指谓”。俗话说：“老王卖瓜，自卖自夸”。人们不能只听他自己的自夸，就判定他的瓜是好的；也不能只从公理体系自己的逻辑推理，就推出体系自己的相容性来。; 当然，这里所说的“自我指谓”，与罗素悖论的“自我指谓”还不完全一样，因为形式的公理化方法本来就是自成系统的。所以这种“自我指谓”的毛病，来自公理系统自身。 这表明，公理化方法确有局限性，公理化方法在逻辑方面的三大基本要求，本身是无法完全满足的。; ５.哥德尔的重大贡献 哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中 最具