分岔计算的一些问题.ppt

分岔计算的若干问题 ;§1 前言§2 弧长法与分岔点的判断§3 动力系统分岔的定义§4 非自治动力系统的等价分类§5 同宿(异宿)轨道的寻求§6 求解动力系统的伪弧长法 ;§1 前言;著名理论物理学家、诺贝尔奖金获奖者费音曼（Richard Phillips Feynmann,1918－1988）在他的《物理学讲义》（Lectures on Physics）中的一段话：“我们已经写下水流的方程，用实验的方法，我们发现了一系列用于理解的近似概念――涡街、湍流尾迹、边界层。如果我们有稍许不同形式的类似方程，而且我们没有法子对这方程作实验，我想以哪怕是原始的、可怀疑的、含混的方式去求解这一方程，以求确定数量性态或数量结果。例如，我们的方程是对于太阳，把它看为无太阳黑子、表面无硬块的结构、没有凸凹不平的氢气球。尽管作了这样的简化，我们仍然还未找到求解的方法。…。人类智慧觉醒的下一世纪，也许可能产生了解方程定量含义的新方法。” ;分岔是非常普遍的现象。 分岔是系统两种性质上不同的状态转变点。 掌握系统的分岔点对把握系统的性质和行为非常重要。 分岔问题是实质非线性问题。 分岔的研究目前引起所有的可以精确化的科学的共同兴趣。; 中青海省桥头发电厂六期扩建工程施工现场1998年9月19日上午发生一起重大伤亡事故，一座正在修建中的冷却塔在修至20米高处时，用于浇筑混凝土的钢模板突然全部坍塌脱落，致使正在施工的数十名工人全部从空中跌落下来，造成4人死亡，52人受伤。目前，事故原因正在调查中。图为事故现场。 ; ;空穴的萌生;§2 弧长法与分岔点的判断; 用伪弧长法追踪非线性方程组的解曲线：对于有限维静力状态方程，若记 ，忽略状态变量和参变量的差别，则原来方程改变为： ;对(1)微分得;这里;因而 ;;考虑动力系统 是它的平衡解即 对给定的动力系统作微小扰动 u 有 把上面的两个式子相减就可以得到 如果u有非零解，就说 是动力系统的分岔点 ; 判断和确定解曲线上的分岔点:为了寻求一种适于高维问题的算法来判断和确定分岔点，我们可以引进一个变换： ;;分叉，即当;首先要求出;对应的非零、单重实特征根的特征向量 ;若干算例利用弧长法可以没有困难地计算材料软化、塑性流动曲屈后行为等一系列以前认为困难的问题。;栱的大变形;蔷溪芳阁客扛蹲舅丛耶低噬组诬嘱字顶耻果鲜扯词烂舞越红沟诗柿茨咆蕴分岔计算的一些问题分岔计算的一些问题;§3 动力系统分岔的定义;其相应的平衡方程为;的两个不同的解;分别属于不同的等价类,则称;§4 非自治线性动力系统 的等价类 ;定义4 设在空间的区域 U 给了两个动力系统 ;我们知道，对于线性自治系统 ;;;的分岔定义，如果解;§5 同宿(异宿)轨道的寻求 ;;令;再代入(14)就可以得到 ;对上式补充两个方程 ;闭轨上的;§6 求解动力系统的伪弧长法 ;;令s为一个弧长参数，并且设 ;则（20）就可以写为;如果引进;当问题(18)的右端项十分大时，即它的未知向量随时间的变化率特别大时，甚至发生间断时，按照(18)数值求解可能导致失败，而按照(23)来数值求解则是轻而易举的事。至于对(23)的求解，可以使用通常的Runge-Kutta方法。 例：一个在刚性微分方程求解上的应用例子。 所谓刚性微分方程，是动力系统的方程的右端项比起它的导数项来说非常大，或者说它的左端导数项上有一个小参数。这类问题一直是微分方程数值求解中有很大困难的问题。下面我们举一个在文献[10]讨论过的一个非线性的例子，这是一个Van der Pol方程： ;方程中;图1 在文献[10]中计算（24）所得的结果 ; 我们用本节叙述的弧长法求解了这个问题，结果表明，这个变换是十分有效的。我们用了弧长s算得增量步为0.001，共计算了10000步。后5000步的计算结果表示在图2上。曲线的尾部振荡（c）表明系统有一个极限环而系统的运动趋于极限环。 ;图2 利用 本节介绍的 弧长法求解 (24)所得的结 果 在10000 步中的后5000 步的结果。; 图2(B) 对应于图1部分的计算结果。; 图2(C) 10000步结束部分的结果。; 我们还把弧长法用于求解偏微分方程，对于那些具有间断解的偏微分方程特别有效。文献[9]还举了一个对Burgers方程的求解算例以说明方法的有效性。 如果(18)是一个自治系统，即它的右端项不含时间t，则我们就不必考虑时间t