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第一章 连续体力学 第一节 刚体力学基础 §1 刚体定轴转动的描述 一、刚体 质点是一个抽象的物理模型，如果问题不涉及物体的转动及其形状与大小，它就可以被视为质点，否则，就要采用另外的模型。如研究飞轮转动、地球自转等问题时，就不能把飞轮和地球看作质点。 物体受力时要发生形变，有些物体形变量大（如橡皮等），有些物体形变量小（如铁块等）。当物体形变量与物体本身的线度相比很小时，可以忽略掉形变量，这样的物体就叫做刚体。刚体的特点是在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。显然，严格的刚体是不存在的，它是一种理想模型。 注意：忽略了形变量不等于没有形变。因为没有形变就没有弹力，因此刚体只是忽略了与问题关系不大的微小形变量。如图，将一个长型物体水平放置，在端以水平力推之，则该物体要获得水平加速度。这件事看起来平淡无奇，但我们要问：力只作用在物体的部分，、各部分，乃至最远的端，并没受的作用，如何也获得了同样的加速度？这当然是推力从到、到······一步步传下去，一直到。传递推力的机制是物体的弹性：开始时力使加速，而未动，于是A、B之间产生压缩而互推；这推力使B加速，而C未动，于是B、C之间产生压力而互推；······依次类推，推力一直传递到Z端。由此可见，这是一个弹性力的传递过程，在过程中没有物体的形变是不行的。在许多情况下，物体的弹性形变小得可以忽略，这样，就可以把实际物体抽象成刚体。所以，刚体就是大小和形状完全不变的物体。 完全不发生形变的物体如何传递力？问题不该这样提。实际上，弹性波传播速度正比于弹性模量的平方根。物体的刚性越大，弹性模量越大，扰动在其中的传递速度也越大。刚体模型与弹性波传播速度无穷大的假设是等价的。一般说来，固体中弹性波的速度约为，在内传播左右，只要我们所讨论的运动过程比这缓慢的多，就可以认为弹性扰动的传递是瞬时的，亦即，可把物体当作刚体处理。 二、刚体的基本运动 刚体的运动形式多种多样，但总可以被看成是平动与转动的合成。平动和转动是刚体最基本的运动形式。 刚体的转动又分为定轴转动和瞬时轴转动。定轴转动是指刚体的转轴是固定不动的；瞬时轴转动是指刚体的转轴不断变化。本章主要研究刚体的定轴转动。 三、刚体定轴转动的描述 刚体作定轴转动时，其上各点均作圆周运动，且圆心都在转轴上。所以，刚体上各点的角位移、角速度、角加速度都是一样的，因此用角量描述刚体的定轴转动比较适宜。 如图所示，刚体作定轴转动，其角速度为 角速度是一矢量，它的方向与转动的方向成右手螺旋关系。 刚体的角加速度为 角加速度也是一矢量。当增加时，与同向；当减小时，与反向。 §2 刚体定轴转动定律 一、力对轴的矩 刚体作定轴转动时，其轴是被固定的。假定刚体受到外力作用。把分解成平行于轴的分力和垂直于轴的分力。的力矩被轴所受的力、平衡了，所以它对刚体的定轴转动没有贡献。又可分解成切向分力和法向分力。由于通过点，所以不产生力矩。因此与刚体定轴转动有关的只是，即只有对刚体的转动有贡献。 定义：力对轴的矩 力矩是一个矢量，其方向平行于转轴，大小为。 下面考察力对点的矩与力对轴的矩之间的关系。 在轴上任找一点，则力对点的矩为 其大小为 它沿轴向的分量为 显然，力对轴上一点的矩沿轴向的分量等于力对轴的矩，即。 二、刚体对轴的角动量 刚体定轴转动时，其上各点都有速度，都有角动量。 定义：刚体上任一质点对转轴的角动量为 式中的是相对于轴的矢径。角动量的大小和方向为 质点对的角动量为 其大小为 它沿轴向的分量为 显然，质点对轴上某点的角动量沿轴向的分量等于质点对轴的角动量，即。 整个刚体对轴的总角动量为 式中的叫刚体对转轴的转动惯量，下一节再对它进行详细的讨论。刚体定轴转动时的角动量等于它对轴的转动惯量与角速度之积。 三、刚体定轴转动定律 在第二章中讲过，质点系的角动量定理为 式中的和都是相对于某一参考点的。 本章中，我们关心的是对轴的力矩和对轴的角动量。因此，把上式两边同时对轴投影，得 因为上式是分量式，所以常写成标量形式。本章中我们主要讨论对轴的转动，所以可以去掉式中的角码。这样上式就变成 即质点系定轴转动时各外力对轴的力矩之和等于系统对轴角动量随时间的变化率。这就是质点系定轴转动的角动量定理的微分形式。 对定轴转动的刚体，把上式作如下变换： 即 该式表明：刚体定轴转动时各外力对轴的力矩和等于刚体对轴的转动惯量与角加速度之积。这个结论就是刚体作定轴转动时的转动定律。 下面举例来应用转动定律。在以下各例中，我们都先给出刚体的转动惯量，到下一节再来求它。 例1．一轻绳跨过一定滑轮（不打滑），滑轮的两边分别系有质量为和的物体，且。滑轮的半径为，质量为，且均匀分布，能绕通过轮心垂直轮面的水平