4次简谐振动练习.doc

四、简谐振动习题 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点；而小球在运动中的回复力为，如题4-1图(b)所示．题 中所述，＜＜，故→0，所以回复力为.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 令，则有 4-2 劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期． 题4-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有，设串联弹簧的等效倔强系数为等效位移为，则有 又有 所以串联弹簧的等效倔强系数为 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有，即，设并联弹簧的倔强系数为，则有 故 同上理，其振动周期为 4-3 如题4-3图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为，滑轮的转动惯量为，半径为．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期． 题4-3图 解：分别以物体和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为轴正向，则当重物偏离原点的坐标为时，有 ① ② ③ 式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 令 则有 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 4-4 质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)与两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为，则知： 又 (2) 当时，有， 即 ∴ (3) 4-5 一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示．如果时质点的状态分别是： (1)； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过处向负向运动； (4)过处向正向运动． 试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 4-6 一质量为的物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移为．求： (1)时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到处所需的最短时间； (3)在处物体的总能量． 解：由题已知 ∴ 又，时， 故振动方程为 (1)将代入得 方向指向坐标原点，即沿轴负向． (2)由题知，时，， 时 ∴ (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为的物体时，伸长为．用这个弹簧和一个质量为