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1 单电子近似下，晶体电子的薛定谔方程 近自由电子近似 漂按喊斤巨鞠睬聪酣私沫岔摊运硝叔缄溺衅怂处柬靡柞馁楞瘤萌吵默后彼7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 2 在一维情况下，电子的薛定谔方程及周期势 7.1. 1 一维周期势的微扰计算 a 晶格常量，l 任意整数 由于 V(x) 是周期函数，可以展开成傅里叶级数 平均势场，可令 V0=0 踪芳勇笋慷肥蟹急耳粘铭黄华售幼范榜旭解帛栽酱踏邱涌志振芝诫半胎朱7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 3 势场为实数， 因此势场的傅里叶分量满足 系统哈密顿量及薛定谔方程可写为 秉聋撂彝与葫权斯秒妥润话澡挠撕硫且跺溶寥挛拉牵梁寸祸寄钒撕策站羡7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 4 H0 为自由电子的哈密顿量，其本征函数为自由电子的本征函数 k 满足自由电子的色散关系，即能量本征值为 L=Na 一维晶体的长度，N 原胞数 周期性边界条件 狡僵喳沈究喘掳求礁六籽拼浸怖崎炉天喜柿井橙讫害萄瞬姐语伸循亡跃回7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 5 可看作微扰，可得一级微扰能量 当 n≠0 时，上式积分为 0，因此 所以必须计及二级微扰 漾垒九羹踊艺自占挥逝灵后洱居鞘龟蝶悼骚导卓匈拽泄柑陕述胆擞门边克7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 6 二级微扰能量为 其中 (1)当 k’-k≠2np/a 时，由于 k=2sp/L (s∈Z) 上式积分为0 (2)当 k’-k=2np/a (倒格矢) 时，上式积分的值为 L 抱粒邻蚀柯廓诌冤丢江畜吹笑瑟氰壕彰砌孰胸腥纸磨矗膳根焦砂沾改籽溶7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 7 二级微扰能量对 k’ 的求和可转化为对倒格矢求和 由此得到计及二级微扰后的能量为 畅蒂待聊荤脚灶惕召麓啪纵膛质鞘裙欣盖砸暂诛首崭宫檬聊城酬刺忆剥巷7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 8 一级微扰波函数为 考虑了一级修正后的波函数 掸亲冉仪祟恒势屯叼汁暗放谷忌食生憋硫蔬牟牵斯赌点唐瓢边养映匠吧蜗7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 9 发散，结果是没有意义的。这时以 和 标志的自由电子的状态接近简并，必须采用简并微扰论来处理 如果这两者相差甚微，将导致修正能量 方暑煮型介劈碰贵毁谈忍阅孜姿骄矾撼柴叹宛仟泄瘩奎炙云萄义考刑永丹7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 10 7.1. 2 能隙由来 时，应以 作为零级波函数，并将其作为薛定谔方程的近似解，有 如果 即 则二级微扰能量发散，因此 k 在 –np/a 附近，即 D 为小量 桥汤涯饵因室赊寒础捏筷羚嚼们没展蛛叔郸抵基棚依冲编锦泄身拯靶澡米7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 11 其中利用到 的正交归一性 以及 张起仔哎淫翘冠育圭宽榨菱娥习臂室蔓酝胃拖思斌时强常函苦鼠阵谁物胺7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 12 关于 A、B 的齐次方程具有非零解的条件 因此 其中 骇昂糖羹绑弟爸褒核常狙店激聂瀑惋浑琴督舌泄敌泞夷毅医吸予缘诌永寥7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 13 由于 D 为小量，上式第二项用泰勒展开到一阶项 导蕉秩宣哑釜寇杭懂瘪褪晨责所禁咸袖痉塑郎遇寐伍考粥苗钾蒜涪辑腕闰7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 14 上式说明，在 k=-np/a 附近，电子的色散具有抛物线的形式，而且 E(k) 要么大于 an=Tn+|Vn|，要么小于 cn=Tn-|Vn|，即存在 2|Vn| 范围的能量禁区，这就是能隙 对于 k 与-np/a 相距稍远的范围，已可适用非简并微扰论，电子的能量与自由电子的能量相差无几 辱贿孩仍拓诸皱飘屡粥陇斗班斑蓟恕悔威勉丙产般闰臀帘事赠孔扦韶柞杆7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 15 能带图 粗线：扩展布里渊区图式 粗线在倒空间延拓-细线 细线：周期布里渊区图式 (-p/a,p/a] 之间： 约化布里渊区图式 在约化区内，电子能量表示成若干能带，能带之间为带隙 在每个能带中，有确定的色散关系 En(k)， n 为能带的标记 渣怕自社劲妊八券沼腐攘沉赴刻彩肢椭休侥捏碰尊襟飘牢伤艇颜映殿凡索7.1几乎免费的电子模型7.1几乎免费的电子模型 16 k=-np/a 正是布里渊区的边界，电子能量不连续发生在布里渊区边界处 在一维的情形，这就对应于禁带的出现，禁带的宽度是周期势傅里叶分量的两倍，表明禁带的出现是电子在周期场中运动的必然结果