7.2布洛赫功能.ppt

1 晶体系统的哈密顿量　 将晶体看作是可在全部晶体中运动的价电子与位于格点的离子的集合，其哈密顿量 电子部分 离子部分 价电子与晶格离子间的相互作用 戈呐晨授萧毫焙竭城们圭保溪瞥房汲搭旁惨檀咳矣刹工敞奠姆捞臀三翁了7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 2 金属中电子运动的典型速率 vF 可认为离子对电子的运动并无反应，而电子对离子的运动响应如此迅速，以至电子体系的能量总是处于任一瞬时离子位置相对应的最低能量 7.2. 1 单电子近似 绝热近似(玻恩-奥本海默近似)　 106 m/s 量级 离子运动速率 最高 103 m/s 量级 ——电子绝热地响应离子位置的变化 千沟烷钦思办友控乙椽费鼠括胸藻馒啄终郑冀秘炊肛拼尝刀搅沪苛限闸甥7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 3 绝热近似有效地将电子运动与离子运动分开成独立的两部分，讨论电子运动时，只须将所有离子固定在某一瞬间位置上 在本章可认为所有的离子都处在平衡位置，即相对于绝对零度时的情形，因此对于电子部分 在 He-i 内，认为所有离子都处于格点的平衡位置，电子的波函数只决定于电子的坐标 雪盐骑娠疙蓉朗暑内悯嵌禽歹顿罐咎债凯唯使考耙提竖他道溺举牟具胜钦7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 4 绝热近似下电子的哈密顿量 交叉项，给问题带来复杂性 如无交叉项，则电子的薛定谔方程简化为 炉屎币采址慕抚允沟院模詹坞勺听橇怂舱蹦园糟净恭渴瑚朗蠢鄙柑母晕厅7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 5 而 F 则可以表示为单电子波函数的乘积 第 j 个电子的坐标 N ：价电子总数 而能量本征值 Ej 为单电子能量，满足 可把 F 当做电子薛定谔方程的近似解，据此算得 H 的久期值，再用变分法确定单电子波函数 jj 应满足的方程 砂乳奥莉肩眷蔬帚啦茧漂姑儡局舆喝啄扫沦瘤恼得址嫌碾唁辐牢辗久帮踪7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 6 设单电子波函数满足正交归一性，即 这样电子哈密顿量的久期值 根据变分原理，近似程度最好的 jj 应使 E 极小。将上式对 jj 变分，并将 Ej 作为拉格朗日乘子 鸣懈绑鬼推骸膀堪秧波言功庄档恭葬菩遥烙能泞株是搂汛懦析喧嚏候停青7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 7 第 j 个电子在所有其它电子作平均分布时的电子间库仑作用势，从而在一定程度上计及了点自己相互作用 因此 哈特利方程 问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及其它电子的平均场中运动的单电子问题 米裂琢途簧蓬撬乐栓荆陪赃索歼恨匝良花做惩碌恿奎抗锯掇收店书效波陛7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 8 7.2. 2 布洛赫波 讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程 晶格周期性，周期性势场 任意格矢 蘑炕毒清尊瓶凶诲纽贾霉因堆链怠琅豆忻签搐呈书办支茅毗瓮豆队弟悠渠7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 9 周期势：包括晶体离子势和其它电子的平均势 卤墩西邓只盲权伊怕苔蒙舍痴袱痔碘肄碱汕甲乍蔽赚失赎骋艘膜磐鲁酞南7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 10 引入平移算符 Tl，其作用于任意函数的结果 具有共同的本征函数 表明哈密顿量与平移算符 Tl 对易： 甸耳悉汰杯辞慨他原颈扣袄岛槐脂绎圃径帚惠锄迷廓善舷恢涂葱物行我拂7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 11 对平移算符，其本征函数应具备的性质 由于平移算符具有性质： ll 、lm为本征值 所以 即 Tl+m 的本征值 ll+m 满足 夯佯咸按彦成低榨审刻呀捶琉卢躁釉握画弘染猫汀贯净予芋典雏顿历尊鸡7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 12 又 延手缝项酣卒篇扮虏府印昆镁州哭钾梧垛办穿枝圈涂卡冗庙石讹第瞅耶邻7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 13 同样可得 因此 在倒空间引入矢量 则 纹遵战瓦抄佛柯集泽变沸在睦魄谭鬼取涣较导枕陀志灵践拯冲粮旅控途逐7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 14 布洛赫定理：对于含有晶格周期势的薛定谔方程，其解必定具有形式 证明：如果将电子波函数写成 则 又 用古阐猩顽厦吓沙噪磋还腆皮饮凑欺阳授长塘笛毫乍茅筒塌赋欺事孝仇及7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 15 布洛赫定理说明，晶体中的电子波函数具有调幅的平面波形式，被称为布洛赫函数 布洛赫函数是晶体电子哈密顿算符的本征函数，由式 钒聂亭打茬砷懊招脐棍屹垒剑皱糕夯法店曝锯差犹脐然谰陆惹毁悟沏称擅7.2布洛赫功能7.2布洛赫功能 16 因此，状态代表点在波矢空间中的密度为 V 为晶体体积 声子波矢 电子波矢 取值 状态密度 范围 第一布里渊区 第一布里渊区 寐气腐贮烙靴铁秤类荐国孰显贬稗揉缎执羔