A）几何原始和几何基础.ppt

（一）几何原本与几何基础 我们都知道，两千多年前，古希腊的数学家欧几里得写了一本著名的书《原本》。在古往今来的浩瀚书海中，《原本》用各国文字出版的印数仅次于《圣经》而居世界第二位。我国最早的中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与我国科学家徐光启翻译的，1607年出版，书名定为《几何原本》。此后，我国出版的各种译本都沿袭这一名称叫做《几何原本》。 《几何原本》列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头给出了一系列定义，然后根据这些定义，公理和公设推导出了465个数学命题，（按照目前通行的希思英译本《Euclid’s Elements》13卷计算, 该书的中译本于1990年出版），其系统之严谨，推理之严密，令人叹为观止。 证明了素数有无穷多；第十卷篇幅最大，占全书的四分之一，主要讨论无理量，可以看作是现代极限概念的雏形；第十一卷讨论空间的直线与平面；第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方比，球体积的比等于直径的立方比，但没有给出比例常数；第十三卷详细研究了五种正多面体。 欧几里得《几何原本》中的内容已在现代中等教育中分成了若干部分，分别归入平面几何，代数，三角，立体几何。初中平面几何的内容主要取材于《几何原本》的前六章，大致可以概括为点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的位置关系（包括平行，垂直），四边形，圆，相似形，求图形的面积这样几个部分。 在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。 公理适用于数学的各个领域： 等于同量的量彼此相等。 等量加等量，其和相等。 等量减等量，其差相等。 彼此能重合的物体是全等的。 整体大于部分。 公设适用于几何部分： 由任意一点到任意（另）一点可作直线。 一条有限直线可以继续延长。 以任意点为心及任意距离可以画圆。 凡直角都相等。 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于而直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。 当然，按照现代数学的公理化体系去衡量，《几何原本》的公理体系不是很完备，比如对点、线、面等原始概念的定义不甚清晰，关联，顺序，运动，连续性等方面的公理还有待补充，个别公理欠独立性。一些命题的证明基于公理4的几何直观，即：彼此能重合的物体是全等的。也就是说，一个平面图形可以不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置。这实际上是不加定义默认了平面的刚体运动。后者在现代数学中的严格定义是平面到自身的保持距离不变的一个映射。 1899年数学泰斗希尔伯特Hilbert 出版了他的著作《几何基础》，并于30多年间不断地修正和精炼，于1930年出了第七版。《几何基础》一书为欧几里得几何补充了完整的公理体系，给出了点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概念的的准确定义。 《几何基础》将公理体系分为下述五类。第一类叫做关联公理，由8个公理组成。第二类叫做顺序公理，由4个公理组成。第三类是合同公理（或全等公理），由5个公理组成。第四类中只有一个公理，即著名的平行公理：过直线外一点至多有一条直线与已知直线平行。第五类是连续公理，包括阿基米德度量公理和直线的完备性两条。 （二）我国平面几何课本的历史演变 《几何原本》作为教科书在西欧讲授有1000年以上的历史，我国最早的中译本是在400年前明朝末年出版。那个时代不太重视科学技术，包括当时称为算学的数学。虽然在明末清初，包括清朝康熙皇帝在内，出现过有一定数学水准的学者，但一般来讲，学习数学的人还是为数不多的。随着清朝末期英，美，法，德，日，俄等列强对我国的侵略，西方传教士大量进入中国。他们兴办了各类学堂，即新学，并编译了一些国外的数学教科书作为教材。与此同时，清朝各级政府和留洋归国的有识之士亦陆续设立了各种新学，较著名的中学有王氏育才书塾，即后来的上海南洋中学，北京五城中学堂，即后来的北京师大附中。这一时期可以看作是我国数学教育的启蒙阶段。 1902年清朝政府正式颁布了钦定学堂章程，于1905年下诏“立停科举，以广学校”，建立了初小5年，高小4年，中学5年的洋学制，并正式开始在中学讲授平面几何。由于日本十九世纪后半叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课本大都为日本教材的中译本。数学教育逐步走上了正轨。 辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育部将学堂改为学校，算学改称数学，（这一称谓于三十年代在民间普及），学制改为初小4年，高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面几何教材逐步开始使用一些英译本