二阶锥规划的一步光滑牛顿法.pdfVIP

倒概程黝施 数学物理学报 2012，32A(4)：768-778 二阶锥规划的一步光滑牛顿法术 1，2汤京永 3贺国平 (1信阳师范学院数学与信息科学学院 河南信阳464000；2上海交通大学数学系上海200240； 3山东科技大学信息科学与工程学院 山东青岛266510) 摘要：研究一个新的求解二阶锥规划的一步光滑牛顿法．该算法基于向量最小值函数的新光滑 函数，将二阶锥规划问题转化成一个非线性方程组问题，再利用牛顿法求解此方程组．算法不 要求初始点及其迭代点严格可行，并且在每一步迭代只需求解一个线性方程组并进行一次线 性有哪些信誉好的足球投注网站．在不需要满足严格互补条件下，证明了算法是全局收敛且是局部二阶收敛的．数值试 验表明算法是有效的． 关键词：二阶锥规划；光滑牛顿法；光滑函数；全局收敛；二阶收敛． 中图分类号：0221文献标识码：A MR(2000)主题分类：90C25；90C30 文章编号：1003—3998(2012)04-768-11 1 引言 本文中，冗华和冗华+分别表示n维实列向量集合冗“中的非负向量和正向量构成的集 合。对任意的z，Y∈冗”，(z，Y)表示列向量(zT，yT)T。，表示单位矩阵．”lf表示向量X的 欧几里得范数，即『IxlI=历． 冗2中的二阶锥(冰激凌锥)定义为 瓦。：={X=(z1，牙)lzl∈冗，孟∈冗2—1，X1≥fI孟11}． 二阶锥规划(SOCP)是一个凸优化问题，它是在一个仿射子空间和有限个二阶锥的笛卡 尔乘积的交集上极大化或极小化一个线性函数．二阶锥规划的标准形式为 (P)min{∑c纠∑=6，既∈伊，江”一，r}， cP，min{喜函刮喜Aixil、t= t=1 由心甜2小”一，r)，7 Ci∈冗…，i=1，…，r是已知的量． 二阶锥规划的对偶规划为 AWy+s产c—t∈舻，江”一，r) (D)max{bTyl 收稿日期：2010-12—29；修订日期：2012—01—13 。 E-mail：tan舀ingyon9926@163．tom 基金(20093718110005)资助 No．4 汤京永等：二阶锥规划的一步光滑牛顿法 769 其中8i∈厄“，i=1，…，r是松弛变量，Y∈亿”是决策变量．定义 扎=n1+…+佗r，瓦=瓦“1×…×瓦“， A=(A1，···，A，)∈7已”ד，C=(Cl，…，c。)∈7已“， z=(Xl，…，z，)∈瓦，8=(81，…，s，)∈瓦 则问题(P)和(D)可分别简记为 (P)min{cTXIAx=b，z∈JIC)， (1) (D) ATY+s=C，s∈瓦)． (2) max{bTYI 二阶锥规划作为数学规划领域的一个重要分支，有着非常重要而又广泛的应用背景和 实际意义，其研究问题涉及控制、金融、组合优化、工程技术、神经网络、机器学习等诸多 领域【1|．许多数学规划问题，如凸二次规划、二次约束的凸二次规划、矩阵分式优化、范数 极小化问题、鲁棒最小二乘问题、天线阵列的设计、带损失风险的金融优化问题等均可以转 化为二阶锥规划m]．许多学者致力于求解二阶锥规划的原始对偶内点法，并取得了丰硕的 成果[3-7]． 近年来，光滑牛顿法在优化领域引起了很多学者的关注．此类方法不但在理论上具有较 好的收敛性质，而且还具有较好的数值试验结果[8--