压力波理论回顾数据.doc

复习内容： 概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线； 主要内容： 一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。 解: X+dXX X+dX X F(X+dX,t) F(X,t) X dX 在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有 根据牛顿第二定律,有 解之,有 而,故上式可以化为 (a) 对于一维应力纵波, 连续可微,记 则 代入(a)式,可得 (b) 因为,,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程: 二、 用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系 (1) 解:对一阶偏微分方程组进行线性组合, ①×λ+②其中为待定系数,整理可得: (a) 根据特征线求解方法,特征线特征方程为 解之,得, ,即特征线的微分方程为: 将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有 即 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为: (2) 解: 对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②，其中为待定系数,整理可得: (a) 根据特征线求解方法,特征线特征方程为 解之,得, ,即特征线的微分方程为: 将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有 即 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为: (3) 对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+ ②×λ，其中为待定系数,整理可得: (a) 根据特征线求解方法,特征线特征方程为 解之,得, ,即特征线的微分方程为: 将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有 即 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为: (4) 解: 对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中为待定系数,整理可得: (a) 根据特征线求解方法,特征线特征方程为 解之,得, ,即特征线的微分方程为: 将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有 即 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为: 三、 用特征线法求解波的传播。 设半无限长弹性杆初始状态为t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为,用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。 解: OA为经O(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。 对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于: 引入积分常数、、、、、后,可写成 右行波有: 左行波有: AOX区 在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有 由（1）（2）可得： 由初始条件,有,则可解得 由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。 对于Aot区 该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有 沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有 ,, 此外,由边界条件已给出,即 于是可解得 可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动和以的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。 特征线BC的特征方程可表示为,则有。 由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为 四、 波形曲线和时程曲线 一线性硬化材料半无限长杆，应力应变关系如图所示，其中。在杆的左端处施加如图所示的载荷。 （1）画出图；（2）画出时刻的波形曲线； （3）画出m位置的时程曲线。 解：半无限长杆中弹性波波速： 塑性波速： 产生塑性波的速度，时间。（图上把关键点的坐标表示清楚，图、波形图和时程图尽量画在一起） 五、 弹性波的相互作用 处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等； 1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做a、b) (c)(b) (c) (b) (a) 解: 作图说明:两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的