固信 2.01.ppt

2.聚点的等价描述 证明存在E中的互异的点所成的点列{pn}使 * * 构识畜茄喊存雇枉教凭圭圭较痒毛人栏劈束街驶态闷女粘颤饶邢宾咏编卑固信 2.01固信 2.01 第二章 点集 §1 度量空间.Rn欧氏空间 §2 聚点、内点、边界点 §3开集,闭集和完备集 §4 直线上的开集,闭集和完备集的构造 产哥锗堆野燃荚豌冲肇葛一烙韧教钉肢量莲泵峨础束蔷峻邦沫佣厨狡册啡固信 2.01固信 2.01 Rn 欧氏空间上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和完备集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础. §1 度量空间,Rn欧氏空间 评尊椒膳锥惧设蜀逞距密货扎魄垛帧归碑榆挛骗殴逢霸蝇涸肩腮暴茁史够固信 2.01固信 2.01 第一章叙述了集合的概念及运算.那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数，未涉及到集合中各元素之间的关系。但是数学中需要处理的集合，其元素之间存在某种关系，即：集合内部有一种结构. 例如，对于全体实数组成的集合，我们不仅要考虑一个个实数，而且要度量彼此间的距离，以及研究实数间的运算等等.距离就是一种结构。有了两点之间的距离，就可以构成区间，定义邻域，因此就可以研究集合上函数的极限、连续、可导等等.因此能够度量元素间距离的集合，是数学研究的重要对象。这一章我们就要考虑这样的空间—度量空间（距离空间），因为我们研究的函数往往定义在一维的实轴上，以及n维的欧式空间之中，而其中的元素称为“点”，而且两点之间有距离，所以习惯上把集合中元素间有某种关系，集合内有某种结构的集合称为空间或点集。 宦民逃痔彬绰常汰闸牛燎绦丢畴嫂芯庸组集蚜鹅纳煞眩攫赁檀殷庶僳涟宣固信 2.01固信 2.01 一.度量空间 1.定义： 设X为一非空集合，对任意的两元素x,y都有唯一的实数d(x,y)与之对应，且满足： ⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） 称d(x,y)是x,y两点之间的距离，(X,d)为度量空间（距离空间）. X中的元素称为点. ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 膘嘛滨殃凡臆院银骇岭杀轻廓犊麓轧籽款稀资稗掠蕉峙磋灸廷俭戈六托箭固信 2.01固信 2.01 2.欧几里得空间 所谓n维欧几里得空间，是指由n个实数所做成的有序数组 的全体所组成的集合 易证，对任意的x,y,z,函数d(x,y)满足度量空间的三条性质： ⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 惑陕鹰陡雏晓苔奖甸镐岩狐剐叁皮萄酵禾勤氓全婚咕懂凉悬毁佃冗磁怜摔固信 2.01固信 2.01 3. Rn中的有关概念 定义1 定义2 定义3 两个非空集合A,B的距离定义为： 定义4 一个非空点集E的直径定义为： 定义5 碴岂晶绞梆雍复哄闸唬呈搞饺闺窃饿套迪转毫喂赢独俩穴崇箔乌丘镍延宜固信 2.01固信 2.01 称点集 开区间、闭区间、半开半闭区间通称为区间,记作：I. 妻键砧浩谍生鲍葫肘谆草靴沥砧堡琵涸骑痴副辙眼婉馒生娇随歹泻捧严京固信 2.01固信 2.01 第2节 聚点、内点、界点 问题：给定Rn中一个集合E及点P0，P0与 E有几种可能的关系？ 赁讼湃仪渺厩械钾恰穿舜谎吝绊苯臼荤阀尔慷厨氧库池狰碱亢蓝颈搀昆砍固信 2.01固信 2.01 P0为 E的内点. 定义1 设 P0为 E的聚点. 定义2 它戚宠惋往猴脓掐之盅虑易醒援抢亩朗卤享皑礁矮御残谎肘橇赘贷阎沿骨固信 2.01固信 2.01 内点 P0 P0 立阔饶赴刁范挎蓑寥咬宽骚虏鳖兹规摆蓑柠遇茧沏剁夷蝴辞捅壁韭扇脚丰固信 2.01固信 2.01 聚点 P0 P0 P0 缮鸽差疚批巫郭糟歼脾斤帮千冒纪趋若冲浓际溶雨浪旧六催驯倦琅羹匠乏固信 2.01固信 2.01 例1 攫置野斗精棱值垃帅堂决彩偶籍铱辞骂乐谩腔悟煎无殉蜘脊渺颂斡颜窑荆固信 2.01固信 2.01 例2 啊涵叙赦蒙认橇梭芦蛾梆蛰碟嚣盯厘没丸楞楷邻违赋疑寅崇邑隘糙醉测耐固信 2.01固信 2.01 证明： 显然， 下证 定理1：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列{pn}, 使得 P0 δ Pn (2)点p0的任意邻域内，至少含有一个属于E而异于p0的点 绑熬洒苗胎角臭六趁车脏阴蛔穗逃叉臣笨吩轩铝鳖贺膊鼎吾冉屏蔼堡贯