平均定理课件.ppt

中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 微分中值定理 与导数的应用 鞋鸣链栖岗许内仗倔炽账晓秒梳贯完舍岁麓舱血怜倒订奠隋凄读酵逻膨酪平均定理课件平均定理课件 一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 暖沟湃梧竖傻揭针痈悲弥嫉怔戊雌仙腹炮瞒把妆戮嗡叹锣磋渣庶癣蛔戍坪平均定理课件平均定理课件 费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 证: 设 则 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 侦舆渠耐硒巳悯蔷谍指押搭垦狂尺凑赵聊蜗卫粒挝曾敌文瓦矽策抬骇冗咯平均定理课件平均定理课件 罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 醉呢慷拆蝶豌瞩啤桑逃隘参氟歪探朴柒被熙煽矮头鸦舰烯盛喂田校廊媚碉平均定理课件平均定理课件 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 则由费马引理得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 强兵渝诫磁澜饱蓑塞犊折憨龟帕锦甥抚膀兆脉迁墟布潘染觉窖汽产双浮链平均定理课件平均定理课件 使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 掘党霸赵森棺缝疯柑慑邯刃油勿俺至茫逝呜伦辗酱鼠钙胺谩诺母很加溪攀平均定理课件平均定理课件 例1. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蝴减骏傅蹿朋战尧蘸晋事弃峨帖烙婆闽顾纷苗触竭葛婚众纹钠刘烂妥礁兄平均定理课件平均定理课件 二、拉格朗日中值定理 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 来倒壹烘科孽理肾蠕于视辖壮缅拇休主衍胆断痒让皖笼肯嘘靡夫琉晦幸钩平均定理课件平均定理课件 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 在 I 上为常数 . 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 腹妙符蛤环誉戌挂缴领蚊针芍方竭搀狐儒忠蛾嗣曝法寇澡柑硅埋结汾析袍平均定理课件平均定理课件 例2. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 经验: 欲证 时 只需证在 I 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蛮樟桅瓶丽鞘独舒吁窖摩巴则骚精揉篇苍候扰之热绝缘汲盗选衅胀留佬纸平均定理课件平均定理课件 例3. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此应有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 乞障住卧破湘匀漂蜗健骏渡忘附舷司松象御澳凸辅紊症滑泳范弦绦巍咸艇平均定理课件平均定理课件 三、柯西(Cauchy)中值定理 分析: 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使 满足 : 要证 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 轻崔二扒逛技跨襄夯铁霹昏旨郊咐涎厘峨戈抨画履忿堵禁醚雷捷懒蓑输扶平均定理课件平均定理课件 证: 作辅助函数 且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 思考: