数学统计理论.ppt

变形监测数据处理第二章 数理统计的有关理论;前言;§2.1 随机变量及其概率分布 2.1.4 泰勒级数 2.1.5 误差分布与精度指标 2.1.6 协方差传播律及权 2.1.7 最小二乘原理 2.1.8 间接平差 §2.2 假设检验原理与方法 §2.3 随机过程及其特征 ;2. 随机现象;随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. 特点： 1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现. 随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性. 偶然误差;若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量. 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b]，则称 X 为连续随机变量.;直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.;随机试验可大量重复进行.; 1、设X为一个随机变量，对任意实数 x，称 F( x )=P( X ? x) 为 X 的（累积）分布函数. 基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0?F(x)?1，F(??)=0，F(+?)=1； (3) 右连续.;2、离散随机变量的分布列;分布列的基本性质;注 意 点 (1);注 意 点 (2);例2.1.1;3、 连续随机变量的密度函数;定义：;密度函数的基本性质;注意点(1); (4) P{aX≤b} = P{aXb} = P{a≤Xb} = P{a≤X≤b} = F(b)?F(a).;连续型; k 阶原点矩：?k = E(Xk) ， k = 1, 2, ….;数学期望——随机变量的统计平均值。 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 可能取值的真正的平均值.;2、 方差 定义 无穷多次测量值的误差平方的算术平均值。 说明 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 ，方差越小，X的取值越集中在均值的附近；方差越大，X的取值越分散．;方差的性质 ;记为X ~ N(?, ?2),;正态分布的性质;p(x);?(x) 的计算;一般正态分布的标准化;正态分布的 3? 原则;2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布;2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布;2.1.3 数理统计中几个常用的抽样分布; §2.1 随机变量及其概率分布;;;;;;;;;;;;一、偶然误差的特性;1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；;1、方差/中误差;方差的估值：;2、平均误差;3、或然误差;4、极限误差;三、协方差传播律;表示X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。;对于向量X=[X1，X2，…Xn]T，将其元素间的方差、协方差阵表示为：;特点：I 对称 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元素相等时，为等精度观测。;若：;（二）观测值线性函数的方差;各分量两两独立时:;（三）多个观测值线性函数的协方差阵;（三）多个观测值线性函数的协方差阵;（三）多个观测值线性函数的协方差阵;Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England;其中;常用方法: 直接法和间接法.;2. 间接展开法 :;附: 常见函数的泰勒展开式;（四）非线性函数的情况;（四）非线性函数的情况;将Z按台劳级数在X0处展开：;令：;（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵;（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵;（五）多个观测向量非线性函数的方差协方差阵;协方差传播律应用步骤:;四、权与定权的常用方法;四、权与定权的常用方法;一、权的定义;（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个?0。;二、单位权中误差;2、边角定权;五、协因数与协因数传播律;变换形式为：;特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角