数学分析 第二章 数列极限3.ppt

§3 数列极限存在的条件 收敛数列的性质 1、唯一性；2、有界性； 3、保号性；4、保不等式性； 5、迫敛性；6、子列收敛性； 7、四则运算性。 数列极限存在的条件 单调有界定理。 Cauchy收敛准则。 解题方面注意点： 1、 -N定义求极限，N的找法。 * 不再含有n * 取整后取作N 2、证明数列{an}单调的方法。 例1 下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。 答 （1） 发散。 （2） 1。 （3） 1/6。 （4） 0。 由迫敛性即得。 （5） 1/2。 例2 证 * 定义： 单调递增 单调递减 单调数列 单调减少 单调增加 如： 定理9（单调有界定理） [1] 单调递增有上界的数列必有极限，且它的极限 等于数列的上确界. [2] 单调递减有下界的数列必有极限，且它的极限 等于数列的下确界. 几何解释: 注1: 此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。 定理9（单调有界定理） 在实数系中，单调有界数列必有极限. 注2：由于数列极限与数列中的有限项无关，因此定理9可以叙述为：在实数系中，数列自某项之后单调有界，则必有极限. 证： 设{an}单调减有下界，从而有下确界。 另一方面，由于a是{an}的一个下界，故 . | | , , , 0 e e - $ a a N n N n 例1 证 由 xn0 ? A?0 , 证法2 例2 证 两边取极限，得 . 0 lim , 0 , 0 ) 1 ( = = = ￥ ? n n n x x a 故 则 当 , 1 1 1 - + n n x x a n 时， 当 只要n充分大 例4 S为有界集，证明：若supS=a S，则存在严格递增数列{xn} S,使得 证 a x1 x2 x3 xn 如此继续，得到xn-1后，取 计算复利息问题:设本金为A0,利率为r,期数为t: 1. 若每期结算一次，则本利和A为 2. 若每期结算m次，则本利和Am为 3. 若立即产生立即结算 ，则本利和即为 连续复利 在金融界有人称e为银行家常数。 利用算术平均值不等式和二项式展开式可以分别证明： f (n) f (n+1), （n=1,2,3,…） f (n) 3 （n=1,2,3,…） 例5 证明： 证： n!2n-1 再证有界性 从这个例子我们看到，一个有理数列的极限却是无理数，这说明有理数域对极限运算不封闭，极限理论必须在实数范围内研究。 同时，这个例子也这说明在有理数域内单调有界定理不成立。 e 是无理数, 例6 利用例5求： 解 例7 定理10（Cauchy收敛准则） 2. 收敛数列的各项越到最后，离得越近，以至于充分后面的任何两项之距离可以任意小（挤到一起了）。 1. Cauchy条件说明，利用数列本身就可以判断是否收敛 ，而不借助数列之外的数a. 注 定理10（Cauchy收敛准则） Cauchy条件 该定理从理论上解决了数列极限的存在性问题。 满足Cauchy条件的数列，称为基本列. 3. Cauchy准则的另一种形式： 例6 证 由Cauchy准则，{an}收敛。 注：本题教材上P35用的是“单调有界定理”证明的。 例7 证明 证 由Cauchy准则，{an}发散。 p n n n + + + + + + 1 2 1 1 1 L 第二章习题课 数列极限的定义 数列极限的等价命题 这两个定理都只是在实数系内成立。 求数列{an}极限的方法： 1、恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化等）； 2、极限的四则运算； 4、利用单调有界定理； 3、利用重要极限 5、证明奇偶子列收敛于同一个数。 6、凭直觉估计极限值，再用极限定义证明。 7、利用迫敛性。 几个常用数列的极限 *